Номер 573, страница 105 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Масса первого (движущегося) тела: $m_1$
Начальная скорость первого тела: $v_1$
Масса второго (неподвижного) тела: $m_2$
Начальная скорость второго тела: $v_2 = 0$
Удар упругий, центральный.

Найти:

Часть кинетической энергии $n$, переданной от первого тела ко второму.

Решение:

При упругом центральном столкновении выполняются два закона сохранения: закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии.

Запишем закон сохранения импульса в проекции на ось движения:

$m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 u_1 + m_2 u_2$

Поскольку второе тело было неподвижно ($v_2 = 0$), уравнение принимает вид:

$m_1 v_1 = m_1 u_1 + m_2 u_2$ (1)

где $u_1$ и $u_2$ — скорости тел после столкновения.

Запишем закон сохранения кинетической энергии:

$\frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} = \frac{m_1 u_1^2}{2} + \frac{m_2 u_2^2}{2}$

С учётом $v_2 = 0$:

$m_1 v_1^2 = m_1 u_1^2 + m_2 u_2^2$ (2)

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными ($u_1$ и $u_2$). Преобразуем уравнения, чтобы решить эту систему. Перенесем члены, относящиеся к первому телу, в левую часть, а ко второму — в правую:

$m_1 (v_1 - u_1) = m_2 u_2$ (из 1)

$m_1 (v_1^2 - u_1^2) = m_2 u_2^2$ (из 2)

Разложим разность квадратов во втором уравнении:

$m_1 (v_1 - u_1)(v_1 + u_1) = m_2 u_2^2$

Теперь разделим это уравнение на преобразованное уравнение (1):

$\frac{m_1 (v_1 - u_1)(v_1 + u_1)}{m_1 (v_1 - u_1)} = \frac{m_2 u_2^2}{m_2 u_2}$

$v_1 + u_1 = u_2$

Из этого соотношения выразим скорость первого тела после удара $u_1$ и подставим в уравнение (1):

$u_1 = u_2 - v_1$

$m_1 v_1 = m_1 (u_2 - v_1) + m_2 u_2$

$m_1 v_1 = m_1 u_2 - m_1 v_1 + m_2 u_2$

$2 m_1 v_1 = (m_1 + m_2) u_2$

Отсюда находим скорость второго тела после удара $u_2$:

$u_2 = \frac{2 m_1 v_1}{m_1 + m_2}$

Начальная кинетическая энергия первого тела была равна:

$E_{k1} = \frac{m_1 v_1^2}{2}$

Энергия, переданная второму телу, — это его кинетическая энергия после удара:

$\Delta E_k = E_{k2'} = \frac{m_2 u_2^2}{2}$

Искомая часть переданной энергии $n$ равна отношению $\Delta E_k$ к $E_{k1}$:

$n = \frac{\Delta E_k}{E_{k1}} = \frac{\frac{m_2 u_2^2}{2}}{\frac{m_1 v_1^2}{2}} = \frac{m_2 u_2^2}{m_1 v_1^2}$

Подставим в это выражение найденное значение $u_2$:

$n = \frac{m_2}{m_1 v_1^2} \left( \frac{2 m_1 v_1}{m_1 + m_2} \right)^2 = \frac{m_2}{m_1 v_1^2} \cdot \frac{4 m_1^2 v_1^2}{(m_1 + m_2)^2}$

Сократив $m_1$ и $v_1^2$, получим общую формулу:

$n = \frac{4 m_1 m_2}{(m_1 + m_2)^2}$

Теперь рассмотрим частные случаи.

а) $m_1 = m_2$
Подставим $m_2 = m_1$ в общую формулу:
$n = \frac{4 m_1 m_1}{(m_1 + m_1)^2} = \frac{4 m_1^2}{(2 m_1)^2} = \frac{4 m_1^2}{4 m_1^2} = 1$
В этом случае первое тело полностью передает свою кинетическую энергию второму.
Ответ: $n = 1$.

б) $m_1 = 9m_2$
Подставим $m_1 = 9m_2$ в общую формулу:
$n = \frac{4 (9m_2) m_2}{(9m_2 + m_2)^2} = \frac{36 m_2^2}{(10 m_2)^2} = \frac{36 m_2^2}{100 m_2^2} = 0,36$
В этом случае первое тело передает второму 36% своей кинетической энергии.
Ответ: $n = 0,36$.