Номер 578, страница 106 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m_1 = 60 \text{ г}$

$m_2 = 80 \text{ г}$

$m_0 = 2,0 \text{ г}$

$h = 20 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:
$m_1 = 0,06 \text{ кг}$
$m_2 = 0,08 \text{ кг}$
$m_0 = 0,002 \text{ кг}$
$h = 0,2 \text{ м}$

Найти:

$H$

Решение:

Рассмотрим систему, состоящую из монеты, первой и второй горок. Так как все поверхности гладкие, трение отсутствует. На систему в горизонтальном направлении не действуют внешние силы. Это означает, что для системы выполняются закон сохранения импульса (в проекции на горизонтальную ось) и закон сохранения полной механической энергии.

Разобьем процесс на два этапа.

Этап 1: Монета соскальзывает с первой горки.

Рассмотрим систему "монета + первая горка". В начальный момент времени они покоятся. Начальный импульс системы равен нулю, а начальная механическая энергия равна потенциальной энергии монеты $E_{нач1} = m_0gh$.

Когда монета достигает подножия первой горки, она имеет горизонтальную скорость $v_0$, а первая горка приобретает скорость $v_1$ в противоположном направлении. Запишем законы сохранения для этого процесса.

Закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось:

$0 = m_0v_0 + m_1v_1$

Отсюда скорость первой горки:

$v_1 = -\frac{m_0}{m_1}v_0$

Закон сохранения механической энергии:

$m_0gh = \frac{m_0v_0^2}{2} + \frac{m_1v_1^2}{2}$

Подставим выражение для $v_1$ в закон сохранения энергии:

$m_0gh = \frac{m_0v_0^2}{2} + \frac{m_1}{2} \left(-\frac{m_0}{m_1}v_0\right)^2 = \frac{m_0v_0^2}{2} + \frac{m_0^2v_0^2}{2m_1} = \frac{m_0v_0^2}{2} \left(1 + \frac{m_0}{m_1}\right)$

Выразим квадрат скорости монеты $v_0^2$:

$v_0^2 = \frac{2ghm_1}{m_0+m_1}$

Этап 2: Монета поднимается на вторую горку.

Теперь рассмотрим систему "монета + вторая горка". Перед началом взаимодействия монета движется со скоростью $v_0$, а вторая горка покоится. Монета поднимается на вторую горку на максимальную высоту $H$. В этот момент монета и вторая горка движутся вместе с одинаковой горизонтальной скоростью $u$.

Закон сохранения импульса для этой системы:

$m_0v_0 = (m_0+m_2)u$

Отсюда их общая скорость:

$u = \frac{m_0v_0}{m_0+m_2}$

Закон сохранения механической энергии для этой системы. Начальная энергия (кинетическая энергия монеты) переходит в конечную (кинетическая энергия монеты и горки + потенциальная энергия монеты):

$\frac{m_0v_0^2}{2} = \frac{(m_0+m_2)u^2}{2} + m_0gH$

Подставим выражение для скорости $u$:

$\frac{m_0v_0^2}{2} = \frac{(m_0+m_2)}{2} \left(\frac{m_0v_0}{m_0+m_2}\right)^2 + m_0gH$

$\frac{m_0v_0^2}{2} = \frac{m_0^2v_0^2}{2(m_0+m_2)} + m_0gH$

Сократим на $m_0$ и выразим $gH$:

$gH = \frac{v_0^2}{2} - \frac{m_0v_0^2}{2(m_0+m_2)} = \frac{v_0^2}{2} \left(1 - \frac{m_0}{m_0+m_2}\right) = \frac{v_0^2}{2} \frac{m_2}{m_0+m_2}$

Теперь подставим в это уравнение выражение для $v_0^2$, полученное на первом этапе:

$gH = \frac{1}{2} \left(\frac{2ghm_1}{m_0+m_1}\right) \frac{m_2}{m_0+m_2} = \frac{ghm_1m_2}{(m_0+m_1)(m_0+m_2)}$

Сократив $g$, получаем итоговую формулу для высоты $H$:

$H = h \frac{m_1m_2}{(m_0+m_1)(m_0+m_2)}$

Так как в формулу входят отношения масс, можно выполнять вычисления в граммах. Ответ получим в сантиметрах, так как $h$ дано в сантиметрах.

$H = 20 \text{ см} \cdot \frac{60 \cdot 80}{(2,0+60)(2,0+80)} = 20 \cdot \frac{4800}{62 \cdot 82} = 20 \cdot \frac{4800}{5084} \approx 18,8827... \text{ см}$

Округляя до двух значащих цифр, как в исходных данных:

$H \approx 19 \text{ см}$

Ответ: $H \approx 19 \text{ см}$.