Номер 579, страница 106 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано

$m = 0,10$ кг

$k = 0,25$ кН/м

$F = 4,0$ Н

$v_0 = 0$

Перевод в систему СИ:
$k = 0,25 \frac{кН}{м} = 0,25 \cdot 10^3 \frac{Н}{м} = 250 \frac{Н}{м}$

Найти:

$v_{max}$ - ?

Решение

На брусок действуют две горизонтальные силы: постоянная внешняя сила $F$ и сила упругости пружины $F_{упр}$. Брусок начинает движение из состояния покоя и его скорость увеличивается до тех пор, пока равнодействующая этих сил направлена в сторону движения. Максимальная скорость $v_{max}$ будет достигнута в тот момент, когда ускорение бруска станет равным нулю. Согласно второму закону Ньютона, это произойдет, когда равнодействующая сил, действующих на брусок, станет равной нулю.

Выберем ось $Ox$ вдоль оси пружины, направленную к стене. Начало координат $x=0$ совпадает с начальным положением бруска (пружина не деформирована). Внешняя сила $F$ направлена вдоль оси $Ox$, а сила упругости $F_{упр}$ — против оси $Ox$.

Сила упругости пружины определяется законом Гука: $F_{упр} = kx$, где $x$ — сжатие пружины.

Условие достижения максимальной скорости — равенство сил:

$F = F_{упр}$

$F = kx_m$

где $x_m$ — сжатие пружины в момент достижения максимальной скорости.

Отсюда находим это сжатие:

$x_m = \frac{F}{k}$

Для нахождения максимальной скорости воспользуемся законом сохранения энергии с учетом работы внешней силы. Работа внешней силы $A_F$ идет на изменение полной механической энергии системы (кинетической энергии бруска $E_к$ и потенциальной энергии пружины $E_п$):

$A_F = \Delta E_к + \Delta E_п$

Работа силы $F$ при перемещении бруска на расстояние $x_m$ равна:

$A_F = F \cdot x_m$

Изменение кинетической энергии:

$\Delta E_к = \frac{m v_{max}^2}{2} - \frac{m v_0^2}{2} = \frac{m v_{max}^2}{2}$ (так как начальная скорость $v_0 = 0$)

Изменение потенциальной энергии пружины:

$\Delta E_п = \frac{k x_m^2}{2} - \frac{k x_0^2}{2} = \frac{k x_m^2}{2}$ (так как начальная деформация $x_0 = 0$)

Подставляем все в уравнение энергетического баланса:

$F \cdot x_m = \frac{m v_{max}^2}{2} + \frac{k x_m^2}{2}$

Подставим в это уравнение выражение для $x_m = \frac{F}{k}$:

$F \cdot \frac{F}{k} = \frac{m v_{max}^2}{2} + \frac{k}{2} \left(\frac{F}{k}\right)^2$

$\frac{F^2}{k} = \frac{m v_{max}^2}{2} + \frac{k F^2}{2 k^2}$

$\frac{F^2}{k} = \frac{m v_{max}^2}{2} + \frac{F^2}{2k}$

Выразим отсюда кинетическую энергию:

$\frac{m v_{max}^2}{2} = \frac{F^2}{k} - \frac{F^2}{2k} = \frac{F^2}{2k}$

Сократим на 2 и выразим $v_{max}^2$:

$m v_{max}^2 = \frac{F^2}{k}$

$v_{max}^2 = \frac{F^2}{mk}$

Отсюда находим максимальную скорость:

$v_{max} = \sqrt{\frac{F^2}{mk}} = \frac{F}{\sqrt{mk}}$

Подставим числовые значения:

$v_{max} = \frac{4,0 \text{ Н}}{\sqrt{0,10 \text{ кг} \cdot 250 \text{ Н/м}}} = \frac{4,0}{\sqrt{25}} = \frac{4,0}{5} = 0,8 \text{ м/с}$

Ответ: $v_{max} = 0,8$ м/с.