Номер 572, страница 105 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Масса первого шара: $m_1 = m$

Масса второго шара: $m_2 = m$

Начальная скорость первого шара: $\vec{v}_1$

Начальная скорость второго шара: $\vec{v}_2 = 0$

Удар абсолютно упругий (подразумевается для бильярдных шаров).

Углы разлета шаров относительно начального направления движения первого шара одинаковы: $|\theta_1| = |\theta_2| = \alpha$.

Найти:

Угол $\alpha$.

Решение:

Рассмотрим столкновение двух бильярдных шаров. По условию шары одинаковые, то есть имеют равные массы $m$. Удар бильярдных шаров можно считать абсолютно упругим, следовательно, в системе выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии.

Выберем систему координат так, чтобы ось $Ox$ совпадала с направлением начальной скорости первого шара $\vec{v}_1$. Ось $Oy$ направим перпендикулярно оси $Ox$. Второй шар до столкновения покоится, $\vec{v}_2 = 0$.

После столкновения шары разлетаются со скоростями $\vec{v}'_1$ и $\vec{v}'_2$. По условию, углы разлета для обоих шаров одинаковы по модулю и равны $\alpha$. Из симметрии следует, что один шар отклонится на угол $\alpha$ в одну сторону от оси $Ox$, а другой — на такой же угол в противоположную сторону. Пусть первый шар полетит под углом $\alpha$, а второй — под углом $-\alpha$ к оси $Ox$.

Запишем закон сохранения импульса в проекциях на оси координат:

Проекция на ось $Ox$:

$m v_1 = m v'_1 \cos\alpha + m v'_2 \cos(-\alpha)$

Поскольку $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$ и массы можно сократить, получаем:

$v_1 = (v'_1 + v'_2) \cos\alpha$ (1)

Проекция на ось $Oy$:

$0 = m v'_1 \sin\alpha + m v'_2 \sin(-\alpha)$

Поскольку $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$, получаем:

$0 = m v'_1 \sin\alpha - m v'_2 \sin\alpha$

$0 = (v'_1 - v'_2) \sin\alpha$ (2)

Так как удар нецентральный, угол $\alpha \neq 0$, и, следовательно, $\sin\alpha \neq 0$. Из уравнения (2) следует, что $v'_1 - v'_2 = 0$, то есть модули скоростей шаров после удара равны: $v'_1 = v'_2$. Обозначим эту скорость как $v'$.

Подставив $v'_1 = v'_2 = v'$ в уравнение (1), получим:

$v_1 = (v' + v') \cos\alpha = 2v' \cos\alpha$ (3)

Теперь запишем закон сохранения кинетической энергии:

$\frac{1}{2}mv_1^2 = \frac{1}{2}m(v'_1)^2 + \frac{1}{2}m(v'_2)^2$

Сократив $\frac{1}{2}m$ и подставив $v'_1 = v'_2 = v'$, получим:

$v_1^2 = (v')^2 + (v')^2 = 2(v')^2$ (4)

Теперь у нас есть система из двух уравнений (3) и (4) с неизвестными $v'$ и $\alpha$. Выразим $v'$ из уравнения (4): $v' = \frac{v_1}{\sqrt{2}}$.

Подставим это выражение для $v'$ в уравнение (3):

$v_1 = 2 \left(\frac{v_1}{\sqrt{2}}\right) \cos\alpha$

Сократим на $v_1$ (начальная скорость не равна нулю):

$1 = \frac{2}{\sqrt{2}} \cos\alpha$

$1 = \sqrt{2} \cos\alpha$

Отсюда находим $\cos\alpha$:

$\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, составляет $45^\circ$.

$\alpha = 45^\circ$

Это означает, что каждый шар отклоняется на $45^\circ$ от первоначального направления движения, а общий угол между их траекториями после столкновения составляет $2\alpha = 90^\circ$.

Ответ: $\alpha = 45^\circ$.