Номер 571, страница 104 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Масса первого тела: $m = 5,0 \text{ кг}$

Масса второго тела: $M = 2,5 \text{ кг}$

Кинетическая энергия второго тела после удара: $E_к = 5,0 \text{ Дж}$

Начальная скорость второго тела: $V_1 = 0 \text{ м/с}$

Тип удара: центральный, упругий

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Кинетическую энергию первого тела до удара $E_{к1}$ и после удара $E_{к2}$.

Решение:

Поскольку удар является упругим, для системы из двух тел выполняются законы сохранения импульса и сохранения кинетической энергии.

Обозначим скорость первого тела до удара как $v_1$, а после удара – как $v_2$. Скорость второго тела до удара равна нулю, а после удара обозначим ее как $V_2$.

Закон сохранения кинетической энергии для упругого удара можно записать в следующем виде:

$\frac{1}{2}m v_1^2 = \frac{1}{2}m v_2^2 + \frac{1}{2}M V_2^2$

Используя обозначения из условия задачи, это уравнение можно переписать как:

$E_{к1} = E_{к2} + E_к$

где $E_{к1}$ – кинетическая энергия первого тела до удара, $E_{к2}$ – кинетическая энергия первого тела после удара, а $E_к$ – кинетическая энергия второго тела после удара.

Для нахождения искомых энергий воспользуемся формулами для скоростей тел после упругого центрального удара, когда второе тело изначально покоится:

$V_2 = \frac{2m}{m+M} v_1$

Возведем обе части уравнения в квадрат и умножим на $\frac{1}{2}M$, чтобы получить выражение для кинетической энергии второго тела $E_к$:

$E_к = \frac{1}{2}M V_2^2 = \frac{1}{2}M \left(\frac{2m}{m+M}\right)^2 v_1^2 = \frac{2M m^2}{(m+M)^2} v_1^2$

Начальная кинетическая энергия первого тела равна $E_{к1} = \frac{1}{2}m v_1^2$. Отсюда $v_1^2 = \frac{2E_{к1}}{m}$. Подставим это выражение в формулу для $E_к$:

$E_к = \frac{2M m^2}{(m+M)^2} \cdot \frac{2E_{к1}}{m} = \frac{4mM}{(m+M)^2} E_{к1}$

Из этого соотношения выразим начальную кинетическую энергию первого тела $E_{к1}$:

$E_{к1} = E_к \frac{(m+M)^2}{4mM}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$E_{к1} = 5,0 \cdot \frac{(5,0 + 2,5)^2}{4 \cdot 5,0 \cdot 2,5} = 5,0 \cdot \frac{7,5^2}{50} = 5,0 \cdot \frac{56,25}{50} = 5,0 \cdot 1,125 = 5,625 \text{ Дж}$

Теперь, используя ранее записанный закон сохранения энергии, найдем кинетическую энергию первого тела после удара $E_{к2}$:

$E_{к2} = E_{к1} - E_к = 5,625 - 5,0 = 0,625 \text{ Дж}$

Ответ:

Кинетическая энергия первого тела до удара $E_{к1} = 5,625 \text{ Дж}$.

Кинетическая энергия первого тела после удара $E_{к2} = 0,625 \text{ Дж}$.