Номер 564, страница 103 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m_1 = 0,20$ кг

$m_2 = 0,10$ кг

$h_1 = 4,5$ см

В системе СИ:

$h_1 = 0,045$ м

Найти:

а) $h_{1a}, h_{2a}$ - высоты подъема шаров после упругого удара.

б) $h_{1b}, h_{2b}$ - высоты подъема шаров после неупругого удара.

Решение:

Сначала найдем скорость первого шара $v_1$ в момент перед ударом. Второй шар в этот момент покоится ($v_2 = 0$). Согласно закону сохранения механической энергии, потенциальная энергия первого шара на высоте $h_1$ переходит в его кинетическую энергию в нижней точке траектории (в момент удара):

$m_1 g h_1 = \frac{1}{2} m_1 v_1^2$

Отсюда скорость первого шара перед ударом:

$v_1 = \sqrt{2 g h_1}$

После удара шары поднимутся на высоты $h_1'$ и $h_2'$, которые также определяются из закона сохранения энергии. Для шара массой $m$ со скоростью $v'$ после удара высота подъема $h'$ будет:

$m g h' = \frac{1}{2} m (v')^2 \implies h' = \frac{(v')^2}{2g}$

Теперь рассмотрим два случая столкновения.

а) упругий

При абсолютно упругом ударе выполняются законы сохранения импульса и кинетической энергии. Скорости шаров $v_1'$ и $v_2'$ после такого столкновения определяются по формулам:

$v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_1$

$v_2' = \frac{2 m_1}{m_1 + m_2} v_1$

Найдем высоты, на которые поднимутся шары после столкновения:

$h_{1a} = \frac{(v_1')^2}{2g} = \frac{1}{2g} \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_1 \right)^2 = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right)^2 \frac{v_1^2}{2g}$

Так как $\frac{v_1^2}{2g} = h_1$, получаем:

$h_{1a} = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right)^2 h_1 = \left( \frac{0,20 - 0,10}{0,20 + 0,10} \right)^2 \cdot 4,5 \text{ см} = \left( \frac{0,10}{0,30} \right)^2 \cdot 4,5 \text{ см} = \left( \frac{1}{3} \right)^2 \cdot 4,5 = \frac{1}{9} \cdot 4,5 = 0,5 \text{ см}.$

Аналогично для второго шара:

$h_{2a} = \frac{(v_2')^2}{2g} = \left( \frac{2 m_1}{m_1 + m_2} \right)^2 \frac{v_1^2}{2g} = \left( \frac{2 m_1}{m_1 + m_2} \right)^2 h_1$

$h_{2a} = \left( \frac{2 \cdot 0,20}{0,20 + 0,10} \right)^2 \cdot 4,5 \text{ см} = \left( \frac{0,40}{0,30} \right)^2 \cdot 4,5 \text{ см} = \left( \frac{4}{3} \right)^2 \cdot 4,5 = \frac{16}{9} \cdot 4,5 = 16 \cdot 0,5 = 8,0 \text{ см}.$

Ответ: Первый шар поднимется на высоту 0,5 см, второй — на 8,0 см.

б) неупругий

При абсолютно неупругом ударе шары слипаются и движутся дальше вместе с общей скоростью $v'$. Для такого столкновения выполняется только закон сохранения импульса:

$m_1 v_1 = (m_1 + m_2) v'$

Отсюда общая скорость шаров после удара:

$v' = \frac{m_1}{m_1 + m_2} v_1$

Высота $h_b$, на которую поднимутся оба шара, движущиеся вместе:

$h_b = \frac{(v')^2}{2g} = \frac{1}{2g} \left( \frac{m_1}{m_1 + m_2} v_1 \right)^2 = \left( \frac{m_1}{m_1 + m_2} \right)^2 \frac{v_1^2}{2g}$

Используя, что $\frac{v_1^2}{2g} = h_1$, получаем:

$h_b = \left( \frac{m_1}{m_1 + m_2} \right)^2 h_1 = \left( \frac{0,20}{0,20 + 0,10} \right)^2 \cdot 4,5 \text{ см} = \left( \frac{0,20}{0,30} \right)^2 \cdot 4,5 \text{ см} = \left( \frac{2}{3} \right)^2 \cdot 4,5 = \frac{4}{9} \cdot 4,5 = 4 \cdot 0,5 = 2,0 \text{ см}.$

Поскольку шары движутся вместе, они поднимутся на одинаковую высоту $h_{1b} = h_{2b} = h_b$.

Ответ: Оба шара поднимутся на высоту 2,0 см.