Номер 558, страница 102 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Масса шарика $m = 0,10$ кг

Длина нити $l = 1,0$ м

Угол отклонения нити от вертикали $\alpha = 60^\circ$

Ускорение свободного падения $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Найти:

Работу раскручивания $A$.

Решение:

Работа $A$, затраченная на раскручивание шарика, согласно теореме об изменении полной механической энергии, равна приращению полной механической энергии шарика.

$A = \Delta E = E_{кон} - E_{нач}$

Начальное состояние — шарик покоится в нижнем положении. Примем это положение за нулевой уровень потенциальной энергии. Тогда начальная скорость $v_{нач} = 0$ и начальная высота $h_{нач} = 0$. Следовательно, начальная полная механическая энергия равна нулю:

$E_{нач} = K_{нач} + U_{нач} = 0$

Конечное состояние — шарик равномерно движется по окружности в горизонтальной плоскости, при этом нить образует с вертикалью угол $\alpha$. В этом состоянии шарик обладает как потенциальной, так и кинетической энергией.

$E_{кон} = U_{кон} + K_{кон}$

1. Найдем потенциальную энергию $U_{кон}$.

При движении шарик поднимается на высоту $h$ относительно начального положения. Из геометрических соображений (рассматривая прямоугольный треугольник, образованный нитью, вертикалью и радиусом вращения) находим высоту подъема:

$h = l - l \cos\alpha = l(1 - \cos\alpha)$

Тогда потенциальная энергия в конечном состоянии равна:

$U_{кон} = mgh = mgl(1 - \cos\alpha)$

2. Найдем кинетическую энергию $K_{кон}$.

$K_{кон} = \frac{1}{2}mv^2$, где $v$ — скорость движения шарика.

Для определения скорости рассмотрим силы, действующие на шарик: сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $T$, направленная вдоль нити к точке подвеса. Равнодействующая этих сил сообщает шарику центростремительное ускорение $a_c$, направленное к центру окружности.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную и горизонтальную оси:

Проекция на вертикальную ось OY: $T \cos\alpha - mg = 0 \implies T = \frac{mg}{\cos\alpha}$

Проекция на горизонтальную ось OX (направлена к центру окружности): $T \sin\alpha = ma_c$

Центростремительное ускорение $a_c = \frac{v^2}{r}$, где $r$ — радиус окружности. Из геометрии $r = l \sin\alpha$.

Подставим выражения для $T$, $a_c$ и $r$ в уравнение для горизонтальной оси:

$\left(\frac{mg}{\cos\alpha}\right) \sin\alpha = m \frac{v^2}{l \sin\alpha}$

$g \tan\alpha = \frac{v^2}{l \sin\alpha}$

Отсюда выразим квадрат скорости:

$v^2 = gl \sin\alpha \tan\alpha = gl \frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha}$

Теперь можем найти кинетическую энергию:

$K_{кон} = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m \left( gl \frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha} \right) = \frac{mgl \sin^2\alpha}{2\cos\alpha}$

3. Найдем работу $A$.

Работа равна конечной полной механической энергии:

$A = E_{кон} = U_{кон} + K_{кон} = mgl(1 - \cos\alpha) + \frac{mgl \sin^2\alpha}{2\cos\alpha}$

Подставим числовые значения. Учитывая, что $\alpha = 60^\circ$, имеем $\cos(60^\circ) = 0,5$ и $\sin^2(60^\circ) = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4} = 0,75$.

$A = 0,10 \cdot 9,8 \cdot 1,0 \cdot (1 - 0,5) + \frac{0,10 \cdot 9,8 \cdot 1,0 \cdot 0,75}{2 \cdot 0,5}$

$A = 0,98 \cdot 0,5 + \frac{0,98 \cdot 0,75}{1}$

$A = 0,49 + 0,735 = 1,225 \text{ Дж}$

Ответ: работа раскручивания равна $1,225$ Дж.