Номер 556, страница 102 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:
Угол наклона первой плоскости: $α_1 = 45°$
Начальная высота: $H = 1.0 \text{ м}$
Угол наклона второй плоскости: $α_2 = 30°$
Коэффициент трения на первой плоскости: $μ_1 = 0.10$
Коэффициент трения на второй плоскости: $μ_2 = 0.20$
Начальная скорость: $v_0 = 0 \text{ м/с}$
Ускорение свободного падения: $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$
Все величины даны в системе СИ.

Найти:
Высоту подъема тела на вторую плоскость $h$.

Решение

Для решения задачи воспользуемся законом изменения полной механической энергии. Изменение полной механической энергии системы равно работе всех неконсервативных сил (в данном случае, работы сил трения).

$ΔE = A_{тр}$

$E_{кон} - E_{нач} = A_{тр1} + A_{тр2}$

Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии горизонтальную плоскость в точке А.

Начальная полная механическая энергия тела (на высоте $H$):
$E_{нач} = E_{п} + E_{к} = mgH + 0 = mgH$

Конечная полная механическая энергия тела (на высоте $h$ на второй плоскости), когда тело остановится:
$E_{кон} = E_{п} + E_{к} = mgh + 0 = mgh$

Теперь найдем работу силы трения на каждом из участков.

1. Работа силы трения $A_{тр1}$ при спуске по первой наклонной плоскости.Длина первого участка $s_1$ связана с высотой $H$ соотношением: $s_1 = \frac{H}{\sin(\alpha_1)}$.
Сила нормальной реакции на первой плоскости: $N_1 = mg \cos(\alpha_1)$.
Сила трения: $F_{тр1} = \mu_1 N_1 = \mu_1 mg \cos(\alpha_1)$.
Работа силы трения отрицательна, так как сила трения направлена против движения:$A_{тр1} = -F_{тр1} \cdot s_1 = -(\mu_1 mg \cos(\alpha_1)) \cdot \frac{H}{\sin(\alpha_1)} = -\mu_1 mgH \frac{\cos(\alpha_1)}{\sin(\alpha_1)} = -\mu_1 mgH \cot(\alpha_1)$.

2. Работа силы трения $A_{тр2}$ при подъеме по второй наклонной плоскости.Длина второго участка $s_2$ связана с высотой $h$ соотношением: $s_2 = \frac{h}{\sin(\alpha_2)}$.
Сила нормальной реакции на второй плоскости: $N_2 = mg \cos(\alpha_2)$.
Сила трения: $F_{тр2} = \mu_2 N_2 = \mu_2 mg \cos(\alpha_2)$.
Работа силы трения также отрицательна:$A_{тр2} = -F_{тр2} \cdot s_2 = -(\mu_2 mg \cos(\alpha_2)) \cdot \frac{h}{\sin(\alpha_2)} = -\mu_2 mgh \frac{\cos(\alpha_2)}{\sin(\alpha_2)} = -\mu_2 mgh \cot(\alpha_2)$.

Подставим все полученные выражения в закон изменения энергии:

$mgh - mgH = -\mu_1 mgH \cot(\alpha_1) - \mu_2 mgh \cot(\alpha_2)$

Масса тела $m$ и ускорение свободного падения $g$ сокращаются:

$h - H = -\mu_1 H \cot(\alpha_1) - \mu_2 h \cot(\alpha_2)$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $h$, в левой части уравнения, а остальные — в правой:

$h + \mu_2 h \cot(\alpha_2) = H - \mu_1 H \cot(\alpha_1)$

Вынесем $h$ и $H$ за скобки:

$h(1 + \mu_2 \cot(\alpha_2)) = H(1 - \mu_1 \cot(\alpha_1))$

Отсюда выразим искомую высоту $h$:

$h = \frac{H(1 - \mu_1 \cot(\alpha_1))}{1 + \mu_2 \cot(\alpha_2)}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$\cot(45^\circ) = 1$
$\cot(30^\circ) = \sqrt{3} \approx 1.732$

$h = \frac{1.0 \cdot (1 - 0.10 \cdot 1)}{1 + 0.20 \cdot \sqrt{3}} = \frac{1.0 \cdot (1 - 0.10)}{1 + 0.20 \cdot 1.732} = \frac{0.9}{1 + 0.3464} = \frac{0.9}{1.3464} \approx 0.6684 \text{ м}$

Округляя результат до двух значащих цифр (в соответствии с данными задачи), получаем:

$h \approx 0.67 \text{ м}$

Ответ: высота подъема тела на вторую плоскость составляет приблизительно $0.67 \text{ м}$.