Номер 555, страница 102 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m = 3.0$ кг
$h = 0.50$ м
$l = 1.0$ м
$v = 2.5$ м/с
$v_0 = 0$ м/с (тело соскальзывает с вершины)
$g \approx 9.8$ м/с² (ускорение свободного падения)

Найти:

$\mu$ - ?
$Q$ - ?

Решение:

Задачу можно решить, используя закон сохранения и изменения механической энергии. Начальная механическая энергия тела (потенциальная) частично переходит в кинетическую энергию у основания плоскости, а частично — в тепловую энергию из-за работы силы трения.

Количество теплоты Q, выделившейся в результате трения

Полная механическая энергия тела на вершине наклонной плоскости (на высоте $h$, при начальной скорости $v_0=0$) равна его потенциальной энергии:

$E_1 = E_{p1} + E_{k1} = mgh + 0 = mgh$

Полная механическая энергия тела у основания наклонной плоскости (на высоте $h=0$, со скоростью $v$) равна его кинетической энергии:

$E_2 = E_{p2} + E_{k2} = 0 + \frac{mv^2}{2}$

Из-за трения часть механической энергии переходит во внутреннюю (тепловую) энергию. Количество выделившейся теплоты $Q$ равно убыли полной механической энергии тела:

$Q = E_1 - E_2 = mgh - \frac{mv^2}{2}$

Подставим числовые значения и выполним вычисления:

$Q = 3.0 \text{ кг} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 0.50 \text{ м} - \frac{3.0 \text{ кг} \cdot (2.5 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{2}$

$Q = 14.7 \text{ Дж} - \frac{3.0 \cdot 6.25}{2} \text{ Дж} = 14.7 \text{ Дж} - 9.375 \text{ Дж} = 5.325 \text{ Дж}$

Округлим результат с учетом точности исходных данных (две значащие цифры):

Ответ: $Q \approx 5.3$ Дж.

Коэффициент трения μ между телом и плоскостью

Количество выделившейся теплоты $Q$ равно работе, совершенной силой трения $F_{тр}$ на пути $l$ (длина наклонной плоскости):

$Q = A_{тр} = F_{тр} \cdot l$

Отсюда можно выразить силу трения:

$F_{тр} = \frac{Q}{l}$

Сила трения скольжения определяется формулой $F_{тр} = \mu N$, где $N$ — сила нормальной реакции опоры. На наклонной плоскости с углом наклона $\alpha$ сила нормальной реакции уравновешивает компоненту силы тяжести, перпендикулярную плоскости:

$N = mg \cos\alpha$

Следовательно, $F_{тр} = \mu mg \cos\alpha$.

Приравняв два выражения для силы трения, получим:

$\frac{Q}{l} = \mu mg \cos\alpha$

Из этого уравнения выразим искомый коэффициент трения $\mu$:

$\mu = \frac{Q}{lmg \cos\alpha}$

Найдем косинус угла наклона плоскости $\alpha$ из геометрии. Наклонная плоскость, ее высота и основание образуют прямоугольный треугольник, в котором $\sin\alpha = \frac{h}{l}$.

$\sin\alpha = \frac{0.50 \text{ м}}{1.0 \text{ м}} = 0.5$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, найдем $\cos\alpha$:

$\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - (0.5)^2} = \sqrt{1 - 0.25} = \sqrt{0.75}$

Теперь подставим все известные значения в формулу для $\mu$. Для большей точности используем не округленное значение $Q = 5.325$ Дж:

$\mu = \frac{5.325 \text{ Дж}}{1.0 \text{ м} \cdot 3.0 \text{ кг} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot \sqrt{0.75}} = \frac{5.325}{29.4 \cdot \sqrt{0.75}} \approx \frac{5.325}{25.46} \approx 0.209$

Округлим результат до двух значащих цифр:

Ответ: $\mu \approx 0.21$.