Номер 559, страница 102 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m_1 = 60$ кг
$m_2 = 3,0$ кг
$h = 1,8$ м
$l = 9,0$ м

Все данные приведены в системе СИ.

Найти:

$A$ - ?

Решение:

Работа $A$, совершенная человеком при броске, равна изменению кинетической энергии системы "человек-камень". Так как в начальный момент времени система покоилась, начальная кинетическая энергия равна нулю. Следовательно, работа равна конечной кинетической энергии системы:

$A = E_k = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2}$

где $v_1$ и $v_2$ – скорости человека и камня относительно земли сразу после броска.

Поскольку человек стоит на абсолютно гладком льду, трение отсутствует. Бросок является внутренним взаимодействием в системе "человек-камень". В горизонтальном направлении внешние силы не действуют, поэтому для системы выполняется закон сохранения импульса:

$m_1 \vec{v_1} + m_2 \vec{v_2} = 0$

В проекции на горизонтальную ось, направленную в сторону броска камня, закон сохранения импульса имеет вид:

$m_2 v_2 - m_1 v_1 = 0$, откуда $m_1 v_1 = m_2 v_2$.

Выразим скорость человека $v_1$ через скорость камня $v_2$:

$v_1 = \frac{m_2}{m_1} v_2$

Скорость камня $v_2$ можно найти, рассмотрев его движение после броска. Камень движется по параболической траектории. Его движение можно разложить на два независимых: равномерное движение по горизонтали и равноускоренное падение по вертикали.

Время полета камня $t$ определяется высотой $h$ и ускорением свободного падения $g$. Примем $g \approx 10 \, \text{м/с}^2$.

$h = \frac{g t^2}{2} \implies t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

$t = \sqrt{\frac{2 \cdot 1,8 \, \text{м}}{10 \, \text{м/с}^2}} = \sqrt{\frac{3,6}{10}} \, \text{с} = \sqrt{0,36} \, \text{с} = 0,6 \, \text{с}$

За это время камень пролетает по горизонтали расстояние $l$. Так как горизонтальная скорость $v_2$ постоянна:

$l = v_2 t \implies v_2 = \frac{l}{t}$

$v_2 = \frac{9,0 \, \text{м}}{0,6 \, \text{с}} = 15 \, \text{м/с}$

Теперь найдем скорость человека $v_1$:

$v_1 = \frac{m_2}{m_1} v_2 = \frac{3,0 \, \text{кг}}{60 \, \text{кг}} \cdot 15 \, \text{м/с} = \frac{1}{20} \cdot 15 \, \text{м/с} = 0,75 \, \text{м/с}$

Наконец, вычислим работу $A$, совершенную человеком:

$A = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2}$

$A = \frac{60 \, \text{кг} \cdot (0,75 \, \text{м/с})^2}{2} + \frac{3,0 \, \text{кг} \cdot (15 \, \text{м/с})^2}{2}$

$A = 30 \cdot 0,5625 \, \text{Дж} + 1,5 \cdot 225 \, \text{Дж}$

$A = 16,875 \, \text{Дж} + 337,5 \, \text{Дж} = 354,375 \, \text{Дж}$

Ответ: $A = 354,375$ Дж.