Номер 553, страница 101 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m = 1,0$ кг

$h = 1,0$ м

$l = 10$ м

$\mu = 0,050$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

а) $E_к$ - ?

б) $v$ - ?

в) $l_1$ - ?

Решение

а) Для нахождения кинетической энергии тела у основания наклонной плоскости воспользуемся законом сохранения энергии с учетом работы силы трения. Изменение полной механической энергии системы равно работе неконсервативных сил (в данном случае, силы трения).

$\Delta E = W_{тр}$

$E_{конечная} - E_{начальная} = W_{тр}$

Начальная энергия тела на вершине плоскости (состояние покоя, $v_0 = 0$):

$E_{начальная} = E_{потенциальная} = mgh$

Конечная энергия тела у основания плоскости (высота равна нулю):

$E_{конечная} = E_{кинетическая} = E_к$

Тогда закон сохранения энергии принимает вид:

$E_к - mgh = W_{тр}$

$E_к = mgh + W_{тр}$

Работа силы трения $W_{тр}$ отрицательна, так как сила трения направлена против движения:

$W_{тр} = -F_{тр} \cdot l$

Сила трения на наклонной плоскости равна $F_{тр} = \mu N$, где $N$ - сила нормальной реакции опоры. Из второго закона Ньютона в проекции на ось, перпендикулярную наклонной плоскости, следует, что $N = mg \cos\alpha$, где $\alpha$ - угол наклона плоскости.

$F_{тр} = \mu mg \cos\alpha$

Косинус угла наклона найдем из геометрии: наклонная плоскость, ее высота и горизонтальное основание образуют прямоугольный треугольник. Горизонтальное основание $b$ равно $b = \sqrt{l^2 - h^2}$. Тогда $\cos\alpha = \frac{b}{l} = \frac{\sqrt{l^2 - h^2}}{l}$.

Подставляя все в формулу для кинетической энергии:

$E_к = mgh - \mu mg \cos\alpha \cdot l = mgh - \mu mg \frac{\sqrt{l^2 - h^2}}{l} \cdot l$

$E_к = mgh - \mu mg \sqrt{l^2 - h^2}$

Вычислим значение:

$\sqrt{l^2 - h^2} = \sqrt{(10\text{ м})^2 - (1,0\text{ м})^2} = \sqrt{100 - 1,0}\text{ м} = \sqrt{99}\text{ м} \approx 9,95\text{ м}$

$E_к = 1,0\text{ кг} \cdot 9,8\text{ м/с}^2 \cdot 1,0\text{ м} - 0,050 \cdot 1,0\text{ кг} \cdot 9,8\text{ м/с}^2 \cdot \sqrt{99}\text{ м}$

$E_к = 9,8\text{ Дж} - 0,49 \cdot \sqrt{99}\text{ Дж} \approx 9,8\text{ Дж} - 4,88\text{ Дж} = 4,92\text{ Дж}$

С учетом значащих цифр, округляем до двух знаков.

Ответ: Кинетическая энергия тела у основания плоскости равна приблизительно 4,9 Дж.

б) Модуль скорости тела $v$ у основания плоскости можно найти из формулы кинетической энергии:

$E_к = \frac{mv^2}{2}$

Отсюда выражаем скорость:

$v = \sqrt{\frac{2E_к}{m}}$

Подставляем значение $E_к$ из пункта а) (используем более точное значение для расчета):

$v = \sqrt{\frac{2 \cdot 4,92\text{ Дж}}{1,0\text{ кг}}} = \sqrt{9,84}\text{ м/с} \approx 3,137\text{ м/с}$

Округляем до двух значащих цифр.

Ответ: Модуль скорости тела у основания плоскости равен приблизительно 3,1 м/с.

в) Для нахождения расстояния, пройденного телом по горизонтальной поверхности до остановки, снова применим теорему о кинетической энергии. На горизонтальном участке на тело действует только сила трения, которая совершает отрицательную работу.

$\Delta E_к = W_{тр. гор.}$

$E_{к. конечн.} - E_{к. начальн.} = -F_{тр. гор.} \cdot l_1$

Начальная кинетическая энергия $E_{к. начальн.}$ - это энергия тела у основания наклонной плоскости, найденная в пункте а). Конечная кинетическая энергия $E_{к. конечн.} = 0$, так как тело останавливается.

$0 - E_к = -F_{тр. гор.} \cdot l_1$

$E_к = F_{тр. гор.} \cdot l_1$

На горизонтальной поверхности сила нормальной реакции опоры $N = mg$, поэтому сила трения $F_{тр. гор.} = \mu N = \mu mg$.

$E_к = \mu mg l_1$

Отсюда выражаем искомое расстояние $l_1$:

$l_1 = \frac{E_к}{\mu mg}$

Подставляем значения (используем более точное значение $E_к$):

$l_1 = \frac{4,92\text{ Дж}}{0,050 \cdot 1,0\text{ кг} \cdot 9,8\text{ м/с}^2} = \frac{4,92}{0,49}\text{ м} \approx 10,04\text{ м}$

Округляем до двух значащих цифр.

Ответ: Расстояние, пройденное телом по горизонтальной поверхности до остановки, равно приблизительно 10 м.