Номер 546, страница 100 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$T_{max} = 4 T_{min}$

Найти:

$\alpha$

Решение:

Рассмотрим движение шарика на нити как движение по дуге окружности. Сила натяжения нити $T$ в любой точке траектории, где нить составляет угол $\theta$ с вертикалью, а скорость шарика равна $v$, определяется вторым законом Ньютона в проекции на радиальное направление (вдоль нити к центру кривизны):

$T - mg \cos\theta = m a_c$

где $m$ — масса шарика, $g$ — ускорение свободного падения, $a_c = v^2/L$ — центростремительное ускорение, а $L$ — длина нити.

Таким образом, сила натяжения равна:

$T = mg \cos\theta + \frac{mv^2}{L}$

Минимальное значение силы натяжения $T_{min}$ будет в крайних (верхних) точках траектории, где шарик на мгновение останавливается. В этих точках угол отклонения равен начальному углу $\alpha$, а скорость $v=0$.

$T_{min} = mg \cos\alpha + \frac{m \cdot 0^2}{L} = mg \cos\alpha$

Максимальное значение силы натяжения $T_{max}$ будет в нижней точке траектории (положении равновесия), где угол $\theta=0$ (соответственно, $\cos\theta = 1$), а скорость шарика максимальна ($v = v_{max}$).

$T_{max} = mg \cos(0) + \frac{mv_{max}^2}{L} = mg + \frac{mv_{max}^2}{L}$

Для нахождения $v_{max}$ воспользуемся законом сохранения механической энергии. Примем за нулевой уровень потенциальной энергии нижнее положение шарика. В начальный момент (в крайней точке) шарик находится на высоте $h = L - L\cos\alpha = L(1-\cos\alpha)$ над нижней точкой, и его скорость равна нулю. Вся энергия является потенциальной: $E_1 = mgh = mgL(1-\cos\alpha)$.

В нижней точке траектории высота равна нулю, а скорость максимальна. Вся энергия является кинетической: $E_2 = \frac{mv_{max}^2}{2}$.

По закону сохранения энергии $E_1 = E_2$:

$mgL(1-\cos\alpha) = \frac{mv_{max}^2}{2}$

Отсюда выразим $mv_{max}^2$:

$mv_{max}^2 = 2mgL(1-\cos\alpha)$

Подставим это выражение в формулу для $T_{max}$:

$T_{max} = mg + \frac{2mgL(1-\cos\alpha)}{L} = mg + 2mg(1-\cos\alpha) = mg(1 + 2 - 2\cos\alpha) = mg(3-2\cos\alpha)$

Теперь используем условие задачи: $T_{max} = 4 T_{min}$.

$mg(3-2\cos\alpha) = 4(mg \cos\alpha)$

Сократим обе части уравнения на $mg$:

$3 - 2\cos\alpha = 4\cos\alpha$

$3 = 6\cos\alpha$

$\cos\alpha = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Отсюда находим искомый угол $\alpha$:

$\alpha = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$

Ответ: $60^\circ$.