Номер 540, страница 100 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$F = 20 \text{ Н}$

$\Delta t = 0.010 \text{ с}$

$E_к = 3.0 \text{ Дж}$ (при начальной скорости $v_0 = 0$)

$v_1 = 10 \text{ м/с}$

Найти:

$E_{к2}$

Решение:

Задача состоит из двух частей. Сначала рассмотрим первый случай, когда тело было первоначально неподвижно.

1. Когда сила $F$ действует на неподвижное тело ($v_0 = 0$) в течение времени $\Delta t$, она совершает работу $A_1$, которая полностью переходит в кинетическую энергию тела $E_к$.

По теореме о кинетической энергии, работа силы равна изменению кинетической энергии:

$A_1 = \Delta E_к = E_к - 0 = E_к = 3.0 \text{ Дж}$

Ускорение, сообщаемое телу, постоянно и равно $a = \frac{F}{m}$, где $m$ — масса тела. Скорость тела в конце промежутка времени $\Delta t$ будет $v = a \Delta t = \frac{F \Delta t}{m}$.

Кинетическая энергия в этом случае равна:

$E_к = \frac{m v^2}{2} = \frac{m}{2} \left(\frac{F \Delta t}{m}\right)^2 = \frac{m F^2 (\Delta t)^2}{2 m^2} = \frac{F^2 (\Delta t)^2}{2m}$

Из этого выражения мы видим связь между сообщенной энергией, силой, временем и массой.

2. Теперь рассмотрим второй случай, когда та же сила $F$ действует на то же тело в течение того же времени $\Delta t$, но у тела уже есть начальная скорость $v_1 = 10 \text{ м/с}$, направленная в ту же сторону, что и сила.

Энергия $E_{к2}$, которую сообщит сила телу, — это работа $A_2$, совершаемая этой силой. Работу можно найти либо как произведение силы на перемещение ($A_2 = F \cdot s_2$), либо как изменение кинетической энергии ($A_2 = E_{к,финал} - E_{к,начал}$). Воспользуемся вторым способом.

Начальная кинетическая энергия тела во втором случае: $E_{к,начал} = \frac{m v_1^2}{2}$.

Конечная скорость тела $v_2$ через время $\Delta t$ будет:

$v_2 = v_1 + a \Delta t = v_1 + \frac{F}{m} \Delta t$

Конечная кинетическая энергия тела:

$E_{к,финал} = \frac{m v_2^2}{2} = \frac{m}{2} \left(v_1 + \frac{F}{m} \Delta t\right)^2$

Раскроем скобки:

$E_{к,финал} = \frac{m}{2} \left(v_1^2 + 2v_1 \frac{F \Delta t}{m} + \frac{F^2 (\Delta t)^2}{m^2}\right) = \frac{m v_1^2}{2} + F v_1 \Delta t + \frac{F^2 (\Delta t)^2}{2m}$

Работа силы $A_2$ (и сообщенная энергия $E_{к2}$) равна разности конечной и начальной кинетических энергий:

$E_{к2} = A_2 = E_{к,финал} - E_{к,начал} = \left(\frac{m v_1^2}{2} + F v_1 \Delta t + \frac{F^2 (\Delta t)^2}{2m}\right) - \frac{m v_1^2}{2}$

$E_{к2} = F v_1 \Delta t + \frac{F^2 (\Delta t)^2}{2m}$

Как мы установили в первом пункте, выражение $\frac{F^2 (\Delta t)^2}{2m}$ равно кинетической энергии $E_к$, сообщенной неподвижному телу. То есть, $\frac{F^2 (\Delta t)^2}{2m} = E_к = 3.0 \text{ Дж}$.

Таким образом, формула для искомой энергии $E_{к2}$ упрощается:

$E_{к2} = F v_1 \Delta t + E_к$

Подставим числовые значения:

$E_{к2} = 20 \text{ Н} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot 0.010 \text{ с} + 3.0 \text{ Дж} = 200 \cdot 0.010 \text{ Дж} + 3.0 \text{ Дж} = 2.0 \text{ Дж} + 3.0 \text{ Дж} = 5.0 \text{ Дж}$

Ответ: $E_{к2} = 5.0 \text{ Дж}$.