Номер 543, страница 100 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m$ - масса шарика

$\alpha = 90^\circ$ - угол отклонения от вертикали

$g$ - ускорение свободного падения

Найти:

$F_{упр}$ - модуль силы упругости нити в момент прохождения положения равновесия

Решение:

Данную задачу можно решить, применив закон сохранения механической энергии и второй закон Ньютона для движения по окружности.

1. Применение закона сохранения энергии.

Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии положение равновесия шарика, то есть самую нижнюю точку его траектории. Пусть длина нити равна $L$.

В начальный момент времени шарик отклонен на угол $\alpha = 90^\circ$ от вертикали. Его высота относительно нулевого уровня в этом положении будет равна длине нити, $h_1 = L$. Так как шарик отпускают без начальной скорости, его скорость $v_1 = 0$. Полная механическая энергия в начальном состоянии (1) складывается из потенциальной и кинетической энергий:

$E_1 = E_{п1} + E_{к1} = mgh_1 + \frac{mv_1^2}{2} = mgL + 0 = mgL$

Когда шарик проходит положение равновесия (состояние 2), его высота над нулевым уровнем $h_2 = 0$, а его скорость максимальна и равна $v_2$. Полная механическая энергия в этом состоянии:

$E_2 = E_{п2} + E_{к2} = mgh_2 + \frac{mv_2^2}{2} = 0 + \frac{mv_2^2}{2} = \frac{mv_2^2}{2}$

Поскольку сопротивлением воздуха и массой нити пренебрегаем, полная механическая энергия системы сохраняется: $E_1 = E_2$.

$mgL = \frac{mv_2^2}{2}$

Отсюда можно найти квадрат скорости шарика в нижней точке траектории:

$v_2^2 = 2gL$

2. Применение второго закона Ньютона.

В момент прохождения положения равновесия на шарик действуют две силы: сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз, и сила упругости (натяжения) нити $F_{упр}$, направленная вертикально вверх вдоль нити.

В этой точке шарик движется по дуге окружности радиусом $L$, поэтому его ускорение является центростремительным и направлено к центру окружности, то есть вертикально вверх. Величина центростремительного ускорения равна:

$a_ц = \frac{v_2^2}{L}$

Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

$F_{упр} - mg = ma_ц$

Подставим в это уравнение выражение для центростремительного ускорения:

$F_{упр} - mg = m \frac{v_2^2}{L}$

Теперь подставим найденное ранее значение для $v_2^2 = 2gL$:

$F_{упр} - mg = m \frac{2gL}{L}$

$F_{упр} - mg = 2mg$

Наконец, выразим искомую силу упругости нити:

$F_{упр} = 2mg + mg = 3mg$

Ответ: Модуль силы упругости нити в момент прохождения шариком положения равновесия равен $F_{упр} = 3mg$.