Номер 539, страница 99 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m = 0,10$ кг

$l = 40$ см

$\alpha = 60^\circ$

Перевод в систему СИ:

$l = 40 \text{ см} = 0,4 \text{ м}$

Найти:

$E_к$ - ?

Решение:

Шарик движется по окружности в горизонтальной плоскости (конический маятник). На него действуют две силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная вдоль нити.

Равнодействующая этих сил сообщает шарику центростремительное ускорение $a_ц$, которое направлено горизонтально к центру окружности. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную ось OY и горизонтальную ось OX:

Проекция на ось OY (вертикальная):

$T \cos \alpha - mg = 0$

Отсюда следует, что вертикальная составляющая силы натяжения уравновешивает силу тяжести:

$T \cos \alpha = mg \quad (1)$

Проекция на ось OX (горизонтальная):

$T \sin \alpha = ma_ц \quad (2)$

Горизонтальная составляющая силы натяжения является центростремительной силой.

Из уравнения (1) выразим силу натяжения нити $T$:

$T = \frac{mg}{\cos \alpha}$

Подставим это выражение для $T$ в уравнение (2):

$\frac{mg}{\cos \alpha} \sin \alpha = ma_ц$

$mg \tan \alpha = ma_ц$

Центростремительное ускорение $a_ц$ связано со скоростью $v$ и радиусом окружности $r$ соотношением $a_ц = \frac{v^2}{r}$. Радиус окружности, по которой движется шарик, можно найти из геометрии: $r = l \sin \alpha$.

Подставим выражения для $a_ц$ и $r$:

$mg \tan \alpha = m \frac{v^2}{l \sin \alpha}$

Сократим массу $m$ и выразим квадрат скорости $v^2$:

$v^2 = gl \tan \alpha \sin \alpha$

Кинетическая энергия $E_к$ определяется по формуле $E_к = \frac{1}{2}mv^2$. Подставим в нее полученное выражение для $v^2$:

$E_к = \frac{1}{2}m(gl \tan \alpha \sin \alpha) = \frac{mgl \tan \alpha \sin \alpha}{2}$

Подставим числовые значения, приняв ускорение свободного падения $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$:

$E_к = \frac{0,10 \text{ кг} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 0,4 \text{ м} \cdot \tan(60^\circ) \cdot \sin(60^\circ)}{2}$

Так как $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$ и $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то:

$E_к = \frac{0,10 \cdot 9,8 \cdot 0,4 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{0,392 \cdot \frac{3}{2}}{2} = \frac{0,588}{2} = 0,294 \text{ Дж}$

Ответ: $E_к = 0,294 \text{ Дж}$.