Номер 545, страница 100 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m = 0,10$ т
$l = 5,0$ м
$F_{упр} = 2,0$ кН

Переведем величины в систему СИ:
$m = 0,10 \cdot 1000 \text{ кг} = 100$ кг
$F_{упр} = 2,0 \cdot 1000 \text{ Н} = 2000$ Н

Найти:

$h$ - ?

Решение:

Когда люстру отклоняют на высоту $h$ и отпускают, она начинает качаться, двигаясь по дуге окружности радиусом $l$. Сила натяжения цепи максимальна в самой нижней точке траектории, так как в этой точке скорость люстры наибольшая. В этой точке на люстру действуют две силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения цепи $\vec{T}$, направленная вертикально вверх. Чтобы цепь не оборвалась, сила натяжения в этой точке не должна превышать $F_{упр}$.

Запишем второй закон Ньютона для люстры в нижней точке траектории. Равнодействующая сил сообщает люстре центростремительное ускорение $a_ц = \frac{v^2}{l}$, направленное к центру окружности (вверх):

$T - mg = m \cdot a_ц$

На пределе прочности $T = F_{упр}$, поэтому:

$F_{упр} - mg = \frac{mv^2}{l}$

Из этого уравнения можно выразить квадрат максимальной скорости $v^2$ люстры в нижней точке:

$v^2 = \frac{l(F_{упр} - mg)}{m}$

Для нахождения связи между высотой $h$ и скоростью $v$ воспользуемся законом сохранения механической энергии. За нулевой уровень потенциальной энергии примем положение люстры в нижней точке траектории. В начальном положении на высоте $h$ люстра покоится, ее полная энергия является потенциальной: $E_1 = E_п = mgh$. В нижней точке траектории высота равна нулю, а скорость максимальна, поэтому полная энергия является кинетической: $E_2 = E_к = \frac{1}{2}mv^2$.

По закону сохранения энергии $E_1 = E_2$:

$mgh = \frac{1}{2}mv^2$

Отсюда находим искомую высоту $h$:

$h = \frac{v^2}{2g}$

Теперь подставим выражение для $v^2$ в формулу для $h$:

$h = \frac{1}{2g} \cdot \frac{l(F_{упр} - mg)}{m} = \frac{l}{2g} \left( \frac{F_{упр}}{m} - g \right)$

Подставим числовые значения в полученную формулу. Примем ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с².

$h = \frac{5,0 \text{ м}}{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2} \left( \frac{2000 \text{ Н}}{100 \text{ кг}} - 10 \text{ м/с}^2 \right) = \frac{5,0}{20} \left( 20 - 10 \right) \text{ м} = 0,25 \cdot 10 \text{ м} = 2,5 \text{ м}$

Ответ: люстру можно отклонить на высоту $h = 2,5$ м.