Номер 547, страница 101 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Радиус петли $R = 500$ см

Перевод в систему СИ:

$R = 500 \text{ см} = 5 \text{ м}$

Найти:

Минимальную высоту $h$

Решение:

Для того чтобы велосипедист смог совершить «мертвую петлю», он не должен отрываться от траектории в верхней точке петли. В этой точке на него действуют две силы, направленные вертикально вниз: сила тяжести $mg$ и сила нормальной реакции опоры $N$. Их равнодействующая сообщает телу центростремительное ускорение $a_ц = \frac{v^2}{R}$.

Согласно второму закону Ньютона, в проекции на вертикальную ось, направленную к центру окружности:

$mg + N = m\frac{v^2}{R}$

где $v$ — скорость велосипедиста в верхней точке петли.

Минимальная скорость, необходимая для прохождения петли, соответствует условию, когда сила нормальной реакции опоры обращается в ноль ($N = 0$). В этом предельном случае велосипедист едва касается поверхности, и только сила тяжести обеспечивает необходимое центростремительное ускорение.

$mg = m\frac{v_{min}^2}{R}$

Отсюда находим квадрат минимальной скорости в верхней точке:

$v_{min}^2 = gR$

Теперь применим закон сохранения механической энергии. Будем пренебрегать силами трения и сопротивления воздуха. Полная механическая энергия велосипедиста в начальной точке (на высоте $h$, где скорость равна нулю) равна его полной механической энергии в верхней точке петли (на высоте $2R$).

Энергия в начальной точке:

$E_1 = E_{п1} + E_{к1} = mgh + 0 = mgh$

Энергия в верхней точке петли:

$E_2 = E_{п2} + E_{к2} = mg(2R) + \frac{1}{2}mv^2$

По закону сохранения энергии $E_1 = E_2$:

$mgh = mg(2R) + \frac{1}{2}mv^2$

Для нахождения минимальной высоты $h_{min}$ подставим в это уравнение значение квадрата минимальной скорости $v_{min}^2 = gR$:

$mgh_{min} = mg(2R) + \frac{1}{2}m(gR)$

Сократим массу $m$ в каждом члене уравнения:

$gh_{min} = 2gR + \frac{1}{2}gR$

$gh_{min} = \frac{5}{2}gR$

Сократив $g$, получим выражение для минимальной высоты:

$h_{min} = \frac{5}{2}R = 2.5R$

Выполним вычисления:

$h_{min} = 2.5 \times 5 \text{ м} = 12.5 \text{ м}$

Ответ:

Минимальная высота, с которой должен начать разгон велосипедист, чтобы совершить «мертвую петлю», составляет $12.5$ м.