Номер 552, страница 101 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Полусфера радиусом $R$.

Поверхность гладкая (трение отсутствует).

Начальная скорость тела на вершине полусферы $v_0 = 0$.

Найти:

Высоту $h$ от вершины, на которой тело оторвется от поверхности.

Решение:

Рассмотрим движение тела. Выберем систему отсчета, связанную с землей. Нулевой уровень потенциальной энергии выберем на уровне горизонтальной плоскости, проходящей через центр полусферы.

Пусть тело отрывается от поверхности в точке, положение которой характеризуется углом $\alpha$ между вертикалью и радиусом, проведенным в эту точку из центра полусферы.

На тело действуют две силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная перпендикулярно поверхности (по радиусу от центра).

1. Применим закон сохранения механической энергии. Так как поверхность гладкая, трение отсутствует, и полная механическая энергия тела сохраняется.

В начальный момент времени (на вершине полусферы, $\alpha = 0$):

Кинетическая энергия $E_{k0} = 0$, так как тело начинает скользить из состояния покоя.

Потенциальная энергия $E_{p0} = mgR$.

Полная начальная энергия $E_0 = E_{k0} + E_{p0} = mgR$.

В момент, когда тело находится под углом $\alpha$ к вертикали, его скорость равна $v$, а высота над нулевым уровнем — $R\cos(\alpha)$.

Кинетическая энергия $E_k = \frac{1}{2}mv^2$.

Потенциальная энергия $E_p = mgR\cos(\alpha)$.

Полная энергия в этой точке $E = E_k + E_p = \frac{1}{2}mv^2 + mgR\cos(\alpha)$.

По закону сохранения энергии $E_0 = E$:

$mgR = \frac{1}{2}mv^2 + mgR\cos(\alpha)$

Выразим отсюда квадрат скорости:

$\frac{1}{2}mv^2 = mgR - mgR\cos(\alpha) = mgR(1 - \cos(\alpha))$

$v^2 = 2gR(1 - \cos(\alpha))$ (1)

2. Запишем второй закон Ньютона для тела в точке, соответствующей углу $\alpha$. Движение происходит по дуге окружности, поэтому у тела есть центростремительное ускорение $a_n = \frac{v^2}{R}$, направленное к центру полусферы.

Запишем проекции сил на радиальное направление (вдоль радиуса к центру):

$ma_n = \sum F_n$

Проекция силы тяжести на это направление равна $mg\cos(\alpha)$, а сила реакции опоры $N$ направлена в противоположную сторону.

$m\frac{v^2}{R} = mg\cos(\alpha) - N$

3. Условием отрыва тела от поверхности является прекращение действия силы реакции опоры, то есть $N = 0$. В этот момент тело перестает давить на поверхность.

Подставим $N = 0$ в уравнение второго закона Ньютона:

$m\frac{v^2}{R} = mg\cos(\alpha)$

$v^2 = gR\cos(\alpha)$ (2)

4. Теперь у нас есть два выражения для квадрата скорости в момент отрыва. Приравняем правые части уравнений (1) и (2):

$2gR(1 - \cos(\alpha)) = gR\cos(\alpha)$

Сократим на $gR$ (так как $g \neq 0$ и $R \neq 0$):

$2(1 - \cos(\alpha)) = \cos(\alpha)$

$2 - 2\cos(\alpha) = \cos(\alpha)$

$2 = 3\cos(\alpha)$

$\cos(\alpha) = \frac{2}{3}$

5. Найдем высоту $h$, на которой произойдет отрыв. Высота $h$ измеряется от вершины полусферы. Высота вершины над центром равна $R$. Высота точки отрыва над центром равна $R\cos(\alpha)$.

Следовательно, искомая высота $h$ равна разности этих высот:

$h = R - R\cos(\alpha) = R(1 - \cos(\alpha))$

Подставим найденное значение $\cos(\alpha)$:

$h = R(1 - \frac{2}{3}) = R \cdot \frac{1}{3} = \frac{R}{3}$

Ответ: Тело оторвется от поверхности на высоте $h = \frac{R}{3}$ от вершины полусферы.