Номер 550, страница 101 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Длина нити $l = 72$ см

Система СИ:

$l = 0.72$ м

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с².

Найти:

Модуль минимальной начальной скорости $v_0$.

Решение:

Для того чтобы шарик совершил полный оборот в вертикальной плоскости, он должен пройти верхнюю точку траектории. Минимальным условием для этого является то, что сила натяжения нити $T$ в верхней точке должна быть неотрицательной, то есть $T \geq 0$. В предельном случае, который соответствует минимальной начальной скорости, сила натяжения в верхней точке обращается в ноль ($T_{верх} = 0$).

Запишем второй закон Ньютона для шарика в верхней точке траектории. На шарик действуют две силы: сила тяжести $mg$ и сила натяжения нити $T_{верх}$. Обе силы направлены вертикально вниз, к центру окружности. Их равнодействующая сообщает шарику центростремительное ускорение $a_ц = \frac{v_{верх}^2}{l}$.

$T_{верх} + mg = m \frac{v_{верх}^2}{l}$

Подставляя условие минимальной скорости $T_{верх} = 0$, получаем:

$mg = m \frac{v_{верх}^2}{l}$

Отсюда можно выразить квадрат минимально необходимой скорости в верхней точке:

$v_{верх}^2 = gl$

Далее применим закон сохранения механической энергии для двух положений шарика: в нижней точке (положение равновесия) и в верхней точке. За нулевой уровень потенциальной энергии примем самое нижнее положение шарика.

Полная механическая энергия в нижней точке (начальное состояние):

$E_{низ} = E_{к, низ} + E_{п, низ} = \frac{mv_0^2}{2} + 0 = \frac{mv_0^2}{2}$

Полная механическая энергия в верхней точке (конечное состояние). Высота подъема шарика относительно нижней точки составляет $h = 2l$.

$E_{верх} = E_{к, верх} + E_{п, верх} = \frac{mv_{верх}^2}{2} + mgh = \frac{mv_{верх}^2}{2} + mg(2l)$

Согласно закону сохранения энергии, $E_{низ} = E_{верх}$:

$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv_{верх}^2}{2} + 2mgl$

Сократим массу $m$ в каждом члене уравнения и умножим обе части на 2:

$v_0^2 = v_{верх}^2 + 4gl$

Теперь подставим найденное ранее выражение для квадрата скорости в верхней точке $v_{верх}^2 = gl$ в уравнение сохранения энергии:

$v_0^2 = gl + 4gl = 5gl$

Отсюда находим искомую минимальную начальную скорость $v_0$:

$v_0 = \sqrt{5gl}$

Произведем вычисления, подставив числовые значения:

$v_0 = \sqrt{5 \cdot 10 \, \text{м/с}^2 \cdot 0.72 \, \text{м}} = \sqrt{50 \cdot 0.72} \, \text{м/с} = \sqrt{36} \, \text{м/с} = 6 \, \text{м/с}$

Ответ:

Модуль минимальной скорости, которую необходимо сообщить шарику, равен $6$ м/с.