Номер 544, страница 100 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Масса шарика: $m$

Максимальная сила натяжения нити: $T_{max} = 1,5mg$

Найти:

Минимальный угол отклонения: $\alpha$

Решение:

Нить оборвется, когда сила натяжения $T$ достигнет своего максимального значения $T_{max}$. Сила натяжения нити максимальна, когда шарик проходит нижнюю точку траектории (положение равновесия), так как в этой точке его скорость максимальна.

1. Запишем второй закон Ньютона для шарика в нижней точке траектории. На шарик действуют сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $T_{max}$, направленная вертикально вверх. Равнодействующая этих сил сообщает шарику центростремительное ускорение $a_c$, направленное к центру окружности (вверх).

В проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

$T_{max} - mg = ma_c$

Поскольку $a_c = \frac{v^2}{l}$, где $v$ – скорость шарика в нижней точке, а $l$ – длина нити, получаем:

$T_{max} - mg = m\frac{v^2}{l}$

Подставим из условия $T_{max} = 1,5mg$:

$1,5mg - mg = m\frac{v^2}{l}$

$0,5mg = m\frac{v^2}{l}$

Сократив массу $m$, получим выражение для квадрата скорости в нижней точке:

$v^2 = 0,5gl$

2. Воспользуемся законом сохранения механической энергии, чтобы связать скорость в нижней точке с начальным углом отклонения $\alpha$. Примем за нулевой уровень потенциальной энергии положение шарика в нижней точке траектории.

В начальный момент времени, когда шарик отклонен на угол $\alpha$ и удерживается неподвижно, его энергия является чисто потенциальной. Высота шарика $h$ над положением равновесия равна:

$h = l - l\cos\alpha = l(1 - \cos\alpha)$

Начальная энергия системы:

$E_{начальная} = mgh = mgl(1 - \cos\alpha)$

В нижней точке траектории высота равна нулю, а скорость равна $v$. Энергия системы в этот момент является чисто кинетической:

$E_{конечная} = \frac{mv^2}{2}$

По закону сохранения энергии $E_{начальная} = E_{конечная}$:

$mgl(1 - \cos\alpha) = \frac{mv^2}{2}$

Выразим отсюда квадрат скорости:

$v^2 = 2gl(1 - \cos\alpha)$

3. Приравняем два полученных выражения для $v^2$:

$0,5gl = 2gl(1 - \cos\alpha)$

Сократим обе части на $gl$ (так как $g \neq 0$ и $l \neq 0$):

$0,5 = 2(1 - \cos\alpha)$

$0,25 = 1 - \cos\alpha$

Отсюда находим $\cos\alpha$:

$\cos\alpha = 1 - 0,25 = 0,75$

Тогда минимальный угол отклонения $\alpha$ равен:

$\alpha = \arccos(0,75)$

Ответ: $\alpha = \arccos(0,75) \approx 41,4^\circ$.