Номер 549, страница 101 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$l = 0.4$ м
$g \approx 10$ м/с² (ускорение свободного падения)

Найти:

$v_{min}$ — минимальное значение модуля начальной горизонтальной скорости.

Решение:

Для того чтобы шарик на жестком стержне совершил полный оборот в вертикальной плоскости, ему необходимо достичь верхней точки траектории. В отличие от случая с нитью, стержень является жестким, то есть он может не только растягиваться (работать на растяжение), но и сжиматься. Это означает, что для прохождения верхней точки траектории скорость шарика в этой точке может быть сколь угодно малой, в предельном случае равной нулю.

Таким образом, минимальная начальная скорость $v_{min}$ соответствует случаю, когда скорость шарика в верхней точке траектории $v_{верх}$ равна нулю.

Воспользуемся законом сохранения механической энергии. Примем за нулевой уровень потенциальной энергии самое нижнее положение шарика.
Полная механическая энергия шарика в начальном (нижнем) положении:

$E_{н} = E_{кн} + E_{пн} = \frac{mv^2}{2} + 0$

Полная механическая энергия шарика в верхней точке траектории. Высота подъема шарика относительно начального положения равна $h = 2l$.

$E_{в} = E_{кв} + E_{пв} = \frac{mv_{верх}^2}{2} + mgh = \frac{mv_{верх}^2}{2} + mg(2l)$

Согласно закону сохранения энергии, $E_{н} = E_{в}$:

$\frac{mv^2}{2} = \frac{mv_{верх}^2}{2} + 2mgl$

Начальная скорость $v$ будет минимальной ($v = v_{min}$), если скорость в верхней точке $v_{верх}$ будет минимально возможной. Как мы установили, для жесткого стержня $v_{верх, min} = 0$. Подставим это значение в уравнение:

$\frac{mv_{min}^2}{2} = \frac{m(0)^2}{2} + 2mgl$

$\frac{mv_{min}^2}{2} = 2mgl$

Сократим массу $m$ и выразим $v_{min}$:

$v_{min}^2 = 4gl$

$v_{min} = \sqrt{4gl} = 2\sqrt{gl}$

Теперь подставим числовые значения:

$v_{min} = 2\sqrt{10 \text{ м/с}^2 \cdot 0.4 \text{ м}} = 2\sqrt{4 \text{ м}^2/\text{с}^2} = 2 \cdot 2 \text{ м/с} = 4 \text{ м/с}$

Ответ: минимальное значение модуля горизонтальной скорости, которую надо сообщить шарику, равно 4 м/с.