Номер 554, страница 102 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Угол наклона плоскости, $\alpha = 8,0^\circ$

Расстояние, пройденное по наклонной плоскости, $L_1$

Расстояние, пройденное по горизонтальной поверхности, $L_2$

$L_1 = L_2 = L$

Начальная скорость тела, $v_0 = 0$

Конечная скорость тела, $v_k = 0$

Коэффициент трения $\mu$ одинаков на всем пути.

Все данные представлены в единицах, не требующих перевода в СИ для данного решения.

Найти:

Коэффициент трения $\mu$.

Решение:

Эту задачу удобно решить, используя теорему об изменении кинетической энергии. Согласно этой теореме, работа всех сил, действующих на тело, равна изменению его кинетической энергии:

$A_{полн} = \Delta E_к = E_{к2} - E_{к1}$

Поскольку тело начинает движение из состояния покоя ($v_0 = 0$) и в конце останавливается ($v_k = 0$), его начальная и конечная кинетические энергии равны нулю. Следовательно, изменение кинетической энергии также равно нулю:

$\Delta E_к = 0$

Это означает, что полная работа всех сил, действующих на тело на всем пути, равна нулю:

$A_{полн} = 0$

На тело действуют сила тяжести, сила нормальной реакции опоры и сила трения. Сила нормальной реакции опоры всегда перпендикулярна перемещению, поэтому ее работа равна нулю. Таким образом, полная работа складывается из работы силы тяжести $A_g$ и работы силы трения $A_{тр}$:

$A_{полн} = A_g + A_{тр} = 0$

1. Работа силы тяжести ($A_g$). Сила тяжести совершает работу только при движении тела по наклонной плоскости, так как на горизонтальном участке нет изменения высоты. Работа силы тяжести равна произведению модуля силы тяжести на вертикальное перемещение. Пусть длина наклонной плоскости равна $L$. Тогда высота, с которой соскальзывает тело, равна $h = L \sin \alpha$.

$A_g = mgh = mgL \sin \alpha$

2. Работа силы трения ($A_{тр}$). Сила трения совершает отрицательную работу на обоих участках пути.
На наклонной плоскости сила нормальной реакции опоры $N_1 = mg \cos \alpha$. Работа силы трения на этом участке:

$A_{тр1} = -F_{тр1} \cdot L = -(\mu N_1) \cdot L = -\mu mgL \cos \alpha$

На горизонтальной поверхности сила нормальной реакции опоры $N_2 = mg$. По условию, тело проходит по горизонтали такое же расстояние $L$. Работа силы трения на этом участке:

$A_{тр2} = -F_{тр2} \cdot L = -(\mu N_2) \cdot L = -\mu mgL$

Суммарная работа силы трения на всем пути:

$A_{тр} = A_{тр1} + A_{тр2} = -\mu mgL \cos \alpha - \mu mgL = -\mu mgL(\cos \alpha + 1)$

Теперь подставим выражения для работ в уравнение $A_g + A_{тр} = 0$:

$mgL \sin \alpha - \mu mgL(\cos \alpha + 1) = 0$

Сократим обе части уравнения на $mgL$ (так как $m \neq 0, g \neq 0, L \neq 0$):

$\sin \alpha - \mu(1 + \cos \alpha) = 0$

Отсюда выразим коэффициент трения $\mu$:

$\mu(1 + \cos \alpha) = \sin \alpha$

$\mu = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha}$

Используя тригонометрические формулы двойного угла ($\sin \alpha = 2 \sin(\alpha/2) \cos(\alpha/2)$ и $1 + \cos \alpha = 2 \cos^2(\alpha/2)$), можно упростить выражение:

$\mu = \frac{2 \sin(\alpha/2) \cos(\alpha/2)}{2 \cos^2(\alpha/2)} = \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} = \tan(\alpha/2)$

Подставим числовое значение угла $\alpha = 8,0^\circ$:

$\mu = \tan(8,0^\circ / 2) = \tan(4,0^\circ)$

$\mu \approx 0,0699$

Округляя до двух значащих цифр, как в исходных данных:

$\mu \approx 0,070$

Ответ: $\mu \approx 0,070$.