Номер 560, страница 103 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

масса пули $m = 10$ г

начальная скорость пули $v = 0,60$ км/с

масса бруска $M = 0,50$ кг

глубина проникновения пули $l = 10$ см

$m = 10 \text{ г} = 10 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 0,01 \text{ кг}$

$v = 0,60 \frac{\text{км}}{\text{с}} = 0,60 \cdot 10^3 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 600 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$l = 10 \text{ см} = 10 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0,1 \text{ м}$

Найти:

модуль силы сопротивления $F_c$

Решение:

Рассмотрим систему «пуля + брусок». Столкновение пули с бруском является абсолютно неупругим, так как пуля застревает в бруске. Внешние силы, действующие на систему (сила тяжести и сила натяжения нити), направлены вертикально. Поэтому для горизонтальной оси выполняется закон сохранения импульса.

Пусть $v$ — скорость пули до столкновения, а $u$ — скорость бруска с пулей сразу после того, как пуля остановилась относительно бруска. Начальный импульс системы равен импульсу пули:

$p_1 = m v$

Конечный импульс системы равен импульсу бруска с застрявшей в нем пулей:

$p_2 = (m + M) u$

Из закона сохранения импульса $p_1 = p_2$ следует:

$m v = (m + M) u$

Отсюда скорость системы «пуля + брусок» после столкновения:

$u = \frac{m v}{m + M}$

Теперь применим закон сохранения энергии. В процессе столкновения (пока пуля движется внутри бруска) механическая энергия системы не сохраняется, так как на пулю действует сила сопротивления $F_c$ (сила трения), которая является диссипативной. Работа этой силы равна изменению кинетической энергии системы.

Начальная кинетическая энергия системы (до столкновения):

$K_1 = \frac{m v^2}{2}$

Конечная кинетическая энергия системы (сразу после столкновения):

$K_2 = \frac{(m + M) u^2}{2}$

Работа силы сопротивления $A_c$ равна изменению кинетической энергии:

$A_c = K_2 - K_1$

Работа силы сопротивления, действующей на пулю, совершается на пути $l$ (относительное смещение пули в бруске) и равна $A_c = -F_c \cdot l$. Знак «минус» указывает на то, что сила сопротивления направлена против движения пули относительно бруска.

$-F_c l = \frac{(m + M) u^2}{2} - \frac{m v^2}{2}$

Подставим в это уравнение выражение для скорости $u$:

$-F_c l = \frac{(m + M)}{2} \left( \frac{m v}{m + M} \right)^2 - \frac{m v^2}{2}$

$-F_c l = \frac{(m + M) m^2 v^2}{2(m + M)^2} - \frac{m v^2}{2}$

$-F_c l = \frac{m^2 v^2}{2(m + M)} - \frac{m v^2(m+M)}{2(m + M)}$

$-F_c l = \frac{m^2 v^2 - m^2 v^2 - m M v^2}{2(m + M)}$

$-F_c l = -\frac{m M v^2}{2(m + M)}$

Отсюда выражаем модуль силы сопротивления $F_c$:

$F_c = \frac{m M v^2}{2l(m + M)}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$F_c = \frac{0,01 \text{ кг} \cdot 0,50 \text{ кг} \cdot (600 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{2 \cdot 0,1 \text{ м} \cdot (0,01 \text{ кг} + 0,50 \text{ кг})}$

$F_c = \frac{0,005 \cdot 360000}{0,2 \cdot 0,51} \frac{\text{кг}^2 \cdot \text{м}^2/\text{с}^2}{\text{м} \cdot \text{кг}} = \frac{1800}{0,102} \text{ Н} \approx 17647 \text{ Н}$

Учитывая, что исходные данные имеют две значащие цифры (0,60 и 0,50), округлим результат до двух значащих цифр:

$F_c \approx 1,8 \cdot 10^4 \text{ Н} = 18 \text{ кН}$

Ответ: $F_c \approx 18$ кН.