Номер 548, страница 101 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

масса шайбы: $m$
радиус петли: $R$
начальная высота: $h = 3R$
начальная скорость шайбы: $v_0 = 0$

Найти:

$F_{д1}$ — модуль силы давления шайбы на рельсы в нижней точке петли.
$F_{д2}$ — модуль силы давления шайбы на рельсы в верхней точке петли.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения механической энергии и вторым законом Ньютона. По третьему закону Ньютона, сила давления шайбы на рельсы ($F_д$) по модулю равна силе нормальной реакции опоры ($N$), действующей на шайбу со стороны рельсов: $F_д = N$.

Выберем нулевой уровень потенциальной энергии на уровне нижней точки петли. Так как шайбу отпускают с высоты $h = 3R$ без начальной скорости, её полная механическая энергия в начальный момент времени равна:
$E_0 = E_п + E_к = mgh + 0 = mg(3R) = 3mgR$.

Поскольку трение отсутствует, полная механическая энергия шайбы сохраняется на всём пути движения.

$F_{д1}$

1. Найдём скорость шайбы $v_1$ в нижней точке петли. Высота в этой точке $h_1 = 0$. Согласно закону сохранения энергии:
$E_0 = E_1 \implies 3mgR = \frac{mv_1^2}{2} + mgh_1 = \frac{mv_1^2}{2} + 0$
Отсюда выразим квадрат скорости:
$v_1^2 = 6gR$.

2. В нижней точке на шайбу действуют две силы: сила тяжести $mg$, направленная вниз, и сила нормальной реакции опоры $N_1$, направленная вверх. Равнодействующая этих сил сообщает шайбе центростремительное ускорение $a_{ц1} = \frac{v_1^2}{R}$, направленное к центру петли (вверх). Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:
$N_1 - mg = ma_{ц1} = m\frac{v_1^2}{R}$
$N_1 = mg + m\frac{v_1^2}{R}$
Подставим значение $v_1^2$:
$N_1 = mg + m\frac{6gR}{R} = mg + 6mg = 7mg$.

3. Сила давления $F_{д1}$ по модулю равна силе реакции опоры $N_1$:
$F_{д1} = N_1 = 7mg$.
Ответ: $F_{д1} = 7mg$.

$F_{д2}$

1. Найдём скорость шайбы $v_2$ в верхней точке петли. Высота в этой точке $h_2 = 2R$. Согласно закону сохранения энергии:
$E_0 = E_2 \implies 3mgR = \frac{mv_2^2}{2} + mgh_2 = \frac{mv_2^2}{2} + mg(2R)$
$\frac{mv_2^2}{2} = 3mgR - 2mgR = mgR$
Отсюда выразим квадрат скорости:
$v_2^2 = 2gR$.

2. В верхней точке на шайбу действуют две силы, направленные вниз: сила тяжести $mg$ и сила нормальной реакции опоры $N_2$. Их равнодействующая сообщает шайбе центростремительное ускорение $a_{ц2} = \frac{v_2^2}{R}$, также направленное к центру петли (вниз). Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, направленную вниз:
$N_2 + mg = ma_{ц2} = m\frac{v_2^2}{R}$
$N_2 = m\frac{v_2^2}{R} - mg$
Подставим значение $v_2^2$:
$N_2 = m\frac{2gR}{R} - mg = 2mg - mg = mg$.

3. Сила давления $F_{д2}$ по модулю равна силе реакции опоры $N_2$:
$F_{д2} = N_2 = mg$.
Ответ: $F_{д2} = mg$.