Номер 542, страница 100 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$l = 1,0 \text{ м}$

$m = 1,0 \text{ кг}$

$F_{упр} = 15 \text{ Н}$

Примем $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

$h$ - ?

Решение:

Рассмотрим движение груза. В положении равновесия (самой нижней точке траектории) на груз действуют две силы: сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз, и сила упругости (натяжения) нити $F_{упр}$, направленная вертикально вверх. Груз движется по дуге окружности, и в нижней точке его скорость максимальна. Равнодействующая этих сил сообщает грузу центростремительное ускорение $a_ц$, которое направлено к центру окружности, то есть вверх.

Запишем второй закон Ньютона для груза в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

$F_{упр} - mg = ma_ц$

Центростремительное ускорение определяется формулой $a_ц = \frac{v^2}{r}$, где $v$ - скорость тела, а $r$ - радиус кривизны траектории. В нашем случае радиус равен длине нити $l$.

$F_{упр} - mg = m \frac{v^2}{l}$

Из этого уравнения мы можем выразить квадрат скорости груза в положении равновесия:

$v^2 = \frac{l(F_{упр} - mg)}{m}$

Теперь воспользуемся законом сохранения механической энергии. Когда груз отводят на высоту $h$ от положения равновесия, его скорость равна нулю. В этот момент он обладает потенциальной энергией $E_п = mgh$ (если принять за нулевой уровень потенциальной энергии положение равновесия). При движении к положению равновесия эта потенциальная энергия полностью переходит в кинетическую энергию $E_к = \frac{mv^2}{2}$, так как на этой высоте $h=0$.

По закону сохранения энергии:

$mgh = \frac{mv^2}{2}$

Сократив массу $m$, получим:

$gh = \frac{v^2}{2}$

Выразим отсюда искомую высоту $h$:

$h = \frac{v^2}{2g}$

Теперь подставим в эту формулу выражение для $v^2$, полученное из второго закона Ньютона:

$h = \frac{l(F_{упр} - mg)}{m} \cdot \frac{1}{2g} = \frac{l(F_{упр} - mg)}{2mg}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$h = \frac{1,0 \cdot (15 - 1,0 \cdot 10)}{2 \cdot 1,0 \cdot 10} = \frac{1,0 \cdot (15 - 10)}{20} = \frac{5}{20} = 0,25 \text{ м}$

Ответ: $h = 0,25$ м.