Номер 551, страница 101 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

m = 1,6 кг

k = 0,25 кН/м

$v_0 = 1,0$ м/с

Перевод в систему СИ:

$k = 0,25 \frac{\text{кН}}{\text{м}} = 0,25 \cdot 10^3 \frac{\text{Н}}{\text{м}} = 250 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$

Найти:

H - ?

Решение:

1. Вначале груз висит на шнуре и находится в положении равновесия. В этом положении сила упругости $F_{упр}$, действующая на груз со стороны шнура, уравновешивает силу тяжести $F_{тяж}$.

Согласно закону Гука, $F_{упр} = kx_0$, где $x_0$ - начальное растяжение шнура.

Условие равновесия: $F_{упр} = F_{тяж}$ или $kx_0 = mg$.

Найдем начальное растяжение шнура:

$x_0 = \frac{mg}{k} = \frac{1,6 \text{ кг} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}}{250 \frac{\text{Н}}{\text{м}}} = \frac{15,68}{250} \text{ м} \approx 0,063 \text{ м}$.

2. Для нахождения максимальной высоты подъема $H$ воспользуемся законом сохранения механической энергии. За нулевой уровень потенциальной энергии силы тяжести примем начальное положение равновесия груза.

В начальный момент (в положении равновесия), когда грузу сообщают скорость $v_0$, полная механическая энергия системы $E_1$ складывается из кинетической энергии груза и потенциальной энергии растянутого шнура:

$E_1 = \frac{mv_0^2}{2} + \frac{kx_0^2}{2}$

3. В конечный момент, когда груз достигнет максимальной высоты подъема $H$ над положением равновесия, его скорость станет равной нулю ($v=0$). Полная механическая энергия системы $E_2$ будет состоять из потенциальной энергии груза в поле тяжести и потенциальной энергии шнура.

$E_2 = mgH + E_{п.упр}'$

На максимальной высоте шнур может быть либо растянут, либо не натянут (если $H \ge x_0$). Если предположить, что груз поднимется на высоту большую, чем начальное растяжение ($H > x_0$), то шнур станет не натянутым, и его потенциальная энергия упругой деформации будет равна нулю ($E_{п.упр}' = 0$).

Тогда конечная энергия системы будет равна:

$E_2 = mgH$

4. Согласно закону сохранения энергии, $E_1 = E_2$:

$\frac{mv_0^2}{2} + \frac{kx_0^2}{2} = mgH$

Подставим в это уравнение ранее найденное выражение для начального растяжения $x_0 = \frac{mg}{k}$:

$\frac{mv_0^2}{2} + \frac{k}{2} \left( \frac{mg}{k} \right)^2 = mgH$

$\frac{mv_0^2}{2} + \frac{k m^2 g^2}{2k^2} = mgH$

$\frac{mv_0^2}{2} + \frac{m^2 g^2}{2k} = mgH$

5. Выразим из этого уравнения искомую высоту $H$:

$H = \frac{1}{mg} \left( \frac{mv_0^2}{2} + \frac{m^2g^2}{2k} \right) = \frac{v_0^2}{2g} + \frac{mg}{2k}$

Подставим числовые значения (примем $g \approx 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$):

$H = \frac{(1,0 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{2 \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}} + \frac{1,6 \text{ кг} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}}{2 \cdot 250 \frac{\text{Н}}{\text{м}}} = \frac{1}{19,6} \text{ м} + \frac{15,68}{500} \text{ м}$

$H \approx 0,051 \text{ м} + 0,031 \text{ м} = 0,082 \text{ м}$

6. Проверим наше предположение: найденная высота $H \approx 0,082$ м, а начальное растяжение $x_0 \approx 0,063$ м. Поскольку $H > x_0$, наше предположение о том, что шнур на максимальной высоте будет не натянут, было верным.

Ответ: груз поднимется на максимальное расстояние $H \approx 0,082$ м, или 8,2 см.