Номер 534, страница 99 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$h_1 = 800 \text{ км} = 8,00 \cdot 10^5 \text{ м}$

$h_2 = 100 \text{ км} = 1,00 \cdot 10^5 \text{ м}$

$v_0 = 9,00 \frac{\text{км}}{\text{с}} = 9,00 \cdot 10^3 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$M = 5,98 \cdot 10^{24} \text{ кг}$

$R = 6,40 \cdot 10^3 \text{ км} = 6,40 \cdot 10^6 \text{ м}$

Гравитационная постоянная $G \approx 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

Найти:

$v$

Решение:

Поскольку сопротивлением движению метеорита до плотных слоев атмосферы можно пренебречь, на него действует только консервативная сила всемирного тяготения. Это означает, что полная механическая энергия метеорита в гравитационном поле Земли сохраняется.

Полная механическая энергия $E$ складывается из кинетической энергии $K$ и потенциальной энергии $U$. Закон сохранения энергии для начального (на высоте $h_1$) и конечного (на высоте $h_2$) положений метеорита можно записать как:

$E_1 = E_2$

$K_1 + U_1 = K_2 + U_2$

Кинетическая энергия тела массы $m$, движущегося со скоростью $v$, равна $K = \frac{mv^2}{2}$. Гравитационная потенциальная энергия тела на расстоянии $r$ от центра Земли (массой $M$) равна $U = -G\frac{Mm}{r}$.

Расстояния метеорита от центра Земли в начальном и конечном положениях:

$r_1 = R + h_1$

$r_2 = R + h_2$

Подставим выражения для энергий в закон сохранения:

$\frac{mv_0^2}{2} - G\frac{Mm}{R+h_1} = \frac{mv^2}{2} - G\frac{Mm}{R+h_2}$

Сократим массу метеорита $m$:

$\frac{v_0^2}{2} - \frac{GM}{R+h_1} = \frac{v^2}{2} - \frac{GM}{R+h_2}$

Выразим квадрат конечной скорости $v^2$:

$\frac{v^2}{2} = \frac{v_0^2}{2} + \frac{GM}{R+h_2} - \frac{GM}{R+h_1}$

$v^2 = v_0^2 + 2GM\left(\frac{1}{R+h_2} - \frac{1}{R+h_1}\right)$

Отсюда, искомая скорость $v$:

$v = \sqrt{v_0^2 + 2GM\left(\frac{1}{R+h_2} - \frac{1}{R+h_1}\right)}$

Рассчитаем расстояния от центра Земли:

$r_1 = R + h_1 = 6,40 \cdot 10^6 \text{ м} + 8,00 \cdot 10^5 \text{ м} = 7,20 \cdot 10^6 \text{ м}$

$r_2 = R + h_2 = 6,40 \cdot 10^6 \text{ м} + 1,00 \cdot 10^5 \text{ м} = 6,50 \cdot 10^6 \text{ м}$

Подставим числовые значения в формулу для $v^2$:

$v^2 = (9,00 \cdot 10^3)^2 + 2 \cdot (6,67 \cdot 10^{-11}) \cdot (5,98 \cdot 10^{24}) \cdot \left(\frac{1}{6,50 \cdot 10^6} - \frac{1}{7,20 \cdot 10^6}\right)$

$v^2 = 8,10 \cdot 10^7 + 7,977 \cdot 10^{14} \cdot \left(\frac{7,20 \cdot 10^6 - 6,50 \cdot 10^6}{(6,50 \cdot 10^6) \cdot (7,20 \cdot 10^6)}\right)$

$v^2 = 8,10 \cdot 10^7 + 7,977 \cdot 10^{14} \cdot \left(\frac{0,70 \cdot 10^6}{46,8 \cdot 10^{12}}\right)$

$v^2 \approx 8,10 \cdot 10^7 + 7,977 \cdot 10^{14} \cdot (1,496 \cdot 10^{-8}) \approx 8,10 \cdot 10^7 + 1,193 \cdot 10^7$

$v^2 \approx 9,293 \cdot 10^7 \left(\frac{\text{м}}{\text{с}}\right)^2$

Теперь найдем скорость $v$:

$v = \sqrt{9,293 \cdot 10^7} \approx 9640 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 9,64 \frac{\text{км}}{\text{с}}$

Ответ: $v \approx 9,64 \frac{\text{км}}{\text{с}}$.