Номер 530, страница 98 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Начальная скорость тела, $v_0 = 16 \frac{м}{с}$

Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \frac{м}{с^2}$

Условие на высоте $h$: $E_k = E_p$

Найти:

Высоту $h$

Решение:

В данной задаче можно применить закон сохранения полной механической энергии, так как сопротивление воздуха не учитывается. Полная механическая энергия $E$ тела, которая является суммой его кинетической ($E_k$) и потенциальной ($E_p$) энергий, остается постоянной на протяжении всего полета.

$E = E_k + E_p = const$

В начальный момент времени, когда тело находится на поверхности земли ($h_0 = 0$), его потенциальная энергия равна нулю, а кинетическая энергия максимальна. Таким образом, полная энергия системы в начале движения равна:

$E_0 = E_{k0} + E_{p0} = \frac{mv_0^2}{2} + 0 = \frac{mv_0^2}{2}$

где $m$ — масса тела, а $v_0$ — его начальная скорость.

На искомой высоте $h$ тело обладает как кинетической энергией $E_k$, так и потенциальной энергией $E_p = mgh$. Полная энергия на этой высоте составляет:

$E_h = E_k + E_p$

Согласно условию задачи, на этой высоте кинетическая энергия равна потенциальной:

$E_k = E_p$

Подставив это условие в формулу для полной энергии на высоте $h$, получим:

$E_h = E_p + E_p = 2E_p = 2mgh$

По закону сохранения энергии, полная энергия в начальный момент равна полной энергии на высоте $h$:

$E_0 = E_h$

$\frac{mv_0^2}{2} = 2mgh$

Сократим массу $m$ в обеих частях уравнения:

$\frac{v_0^2}{2} = 2gh$

Отсюда выразим высоту $h$:

$v_0^2 = 4gh$

$h = \frac{v_0^2}{4g}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$h = \frac{(16 \frac{м}{с})^2}{4 \cdot 10 \frac{м}{с^2}} = \frac{256 \frac{м^2}{с^2}}{40 \frac{м}{с^2}} = 6.4 \, м$

Ответ: на высоте $h = 6.4 \, м$ кинетическая энергия тела будет равна его потенциальной энергии.