Номер 529, страница 98 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Начальная высота броска: $h$

Конечная высота подъема: $2h$

Потери механической энергии при ударе и сопротивление воздуха отсутствуют.

Найти:

Модуль начальной скорости: $v_0$

Решение:

Согласно условию задачи, мы пренебрегаем потерями механической энергии при ударе о землю и сопротивлением воздуха. Это означает, что полная механическая энергия системы "мяч-Земля" сохраняется на протяжении всего процесса: от момента броска до момента достижения максимальной высоты после отскока.

Закон сохранения механической энергии гласит, что полная механическая энергия системы $E$ остается постоянной, если на систему не действуют внешние неконсервативные силы (например, сила трения или сопротивления воздуха). Полная механическая энергия является суммой кинетической ($E_k$) и потенциальной ($E_p$) энергий:

$E = E_k + E_p = \frac{mv^2}{2} + mgh$

где $m$ – масса мяча, $v$ – его скорость, $g$ – ускорение свободного падения, $h$ – высота над нулевым уровнем (примем за нулевой уровень поверхность земли).

Рассмотрим два состояния системы:

1. Начальное состояние: мяч находится на высоте $h$ и ему сообщают начальную скорость $v_0$, направленную вниз. Полная механическая энергия в этот момент ($E_{нач}$) равна:

$E_{нач} = \frac{mv_0^2}{2} + mgh$

2. Конечное состояние: после удара о землю мяч подпрыгивает и достигает максимальной высоты $2h$. В этой точке его скорость становится равной нулю. Полная механическая энергия в этот момент ($E_{кон}$) равна:

$E_{кон} = \frac{m \cdot 0^2}{2} + mg(2h) = 2mgh$

Так как полная механическая энергия сохраняется, мы можем приравнять энергию в начальном и конечном состояниях:

$E_{нач} = E_{кон}$

$\frac{mv_0^2}{2} + mgh = 2mgh$

Теперь решим это уравнение относительно искомой величины $v_0$. Перенесем слагаемое $mgh$ из левой части в правую:

$\frac{mv_0^2}{2} = 2mgh - mgh$

$\frac{mv_0^2}{2} = mgh$

Масса мяча $m$ присутствует в обеих частях уравнения, и ее можно сократить (так как $m \neq 0$):

$\frac{v_0^2}{2} = gh$

Умножим обе части уравнения на 2:

$v_0^2 = 2gh$

Чтобы найти модуль скорости $v_0$, извлечем квадратный корень из обеих частей:

$v_0 = \sqrt{2gh}$

Ответ: $v_0 = \sqrt{2gh}$