Номер 522, страница 97 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m_1 = 300$ кг
$m_2 = 200$ кг
$F = 100$ Н
$t = 3$ с

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$v_1, v_2, A_1, A_2, P_1, P_2$

Решение:

Разобьем задачу на два случая, описанных в условии.

Первый случай: канат привязан к дереву на берегу

В этом случае на лодку А (вместе с человеком), масса которой $m_1$, действует сила натяжения каната $F$. Сопротивлением воды пренебрегаем, поэтому движение будет равноускоренным. Начальная скорость лодки равна нулю.

1. Найдем ускорение лодки А ($a_1$) по второму закону Ньютона:

$F = m_1 a_1 \Rightarrow a_1 = \frac{F}{m_1}$

$a_1 = \frac{100 \text{ Н}}{300 \text{ кг}} = \frac{1}{3} \text{ м/с}^2$

2. Найдем скорость лодки А ($v_1$) к концу третьей секунды:

$v_1 = a_1 t = \frac{1}{3} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 3 \text{ с} = 1 \text{ м/с}$

3. Найдем работу ($A_1$), совершенную силой упругости каната. Она равна изменению кинетической энергии лодки:

$A_1 = \Delta K = \frac{m_1 v_1^2}{2} = \frac{300 \text{ кг} \cdot (1 \text{ м/с})^2}{2} = 150 \text{ Дж}$

4. Найдем мощность ($P_1$), развиваемую силой в конце третьей секунды. Мгновенная мощность равна произведению силы на мгновенную скорость:

$P_1 = F \cdot v_1 = 100 \text{ Н} \cdot 1 \text{ м/с} = 100 \text{ Вт}$

Ответ: Скорость лодки А в первом случае $v_1 = 1 \text{ м/с}$, работа силы $A_1 = 150 \text{ Дж}$, мощность $P_1 = 100 \text{ Вт}$.

Второй случай: канат привязан к лодке B

В этом случае сила натяжения каната $F$ действует на обе лодки, заставляя их двигаться навстречу друг другу. Сила, действующая на лодку А, равна силе, действующей на лодку В, и равна $F$.

1. Ускорение лодки А ($a_A$) не изменится, так как на нее действует та же сила $F$ и ее масса та же ($m_1$):

$a_A = \frac{F}{m_1} = \frac{100 \text{ Н}}{300 \text{ кг}} = \frac{1}{3} \text{ м/с}^2$

2. Скорость лодки А ($v_2$) к концу третьей секунды будет такой же, как и в первом случае:

$v_2 = v_A = a_A t = \frac{1}{3} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 3 \text{ с} = 1 \text{ м/с}$

3. Найдем ускорение ($a_B$) и скорость ($v_B$) лодки B для вычисления общей работы и мощности.

$a_B = \frac{F}{m_2} = \frac{100 \text{ Н}}{200 \text{ кг}} = 0.5 \text{ м/с}^2$

$v_B = a_B t = 0.5 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 3 \text{ с} = 1.5 \text{ м/с}$

4. Работа ($A_2$), совершенная силой упругости каната, равна сумме работ, совершенных над обеими лодками, или общему изменению кинетической энергии системы:

$A_2 = A_A + A_B = \frac{m_1 v_A^2}{2} + \frac{m_2 v_B^2}{2}$

$A_2 = \frac{300 \text{ кг} \cdot (1 \text{ м/с})^2}{2} + \frac{200 \text{ кг} \cdot (1.5 \text{ м/с})^2}{2} = 150 \text{ Дж} + \frac{200 \cdot 2.25}{2} \text{ Дж} = 150 \text{ Дж} + 225 \text{ Дж} = 375 \text{ Дж}$

5. Мощность ($P_2$), развиваемая силой натяжения, равна сумме мощностей, развиваемых на каждой лодке. Это также равно произведению силы на относительную скорость сближения лодок ($v_A + v_B$):

$P_2 = P_A + P_B = F \cdot v_A + F \cdot v_B = F(v_A + v_B)$

$P_2 = 100 \text{ Н} \cdot (1 \text{ м/с} + 1.5 \text{ м/с}) = 100 \text{ Н} \cdot 2.5 \text{ м/с} = 250 \text{ Вт}$

Ответ: Скорость лодки А во втором случае $v_2 = 1 \text{ м/с}$, работа силы $A_2 = 375 \text{ Дж}$, мощность $P_2 = 250 \text{ Вт}$.