Номер 517, страница 96 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$ \alpha_1 = 5,0 \cdot 10^{-3} $ рад

$ v_1 = 50 $ км/ч

$ \alpha_2 = 2,5 \cdot 10^{-3} $ рад

$ v_2 = 60 $ км/ч

$ P = const $

$ \mu = const $

Перевод в систему СИ:
$ v_1 = 50 \frac{км}{ч} = 50 \cdot \frac{1000 \, м}{3600 \, с} = \frac{125}{9} \, \frac{м}{с} \approx 13,89 \, \frac{м}{с} $
$ v_2 = 60 \frac{км}{ч} = 60 \cdot \frac{1000 \, м}{3600 \, с} = \frac{50}{3} \, \frac{м}{с} \approx 16,67 \, \frac{м}{с} $

Найти:

$ \mu $

Решение:

Мощность $ P $, развиваемая локомотивом, связана с силой тяги $ F_{тяги} $ и скоростью движения $ v $ соотношением $ P = F_{тяги} \cdot v $. По условию задачи, мощность постоянна.

Поскольку поезд движется с постоянной скоростью, его ускорение равно нулю. Согласно второму закону Ньютона, сила тяги локомотива уравновешивает сумму сил, препятствующих движению. При движении вверх по уклону это проекция силы тяжести на ось движения $ F_{g_x} $ и сила сопротивления $ F_{сопр} $.

$ F_{тяги} = F_{g_x} + F_{сопр} $

Проекция силы тяжести на направление движения равна $ F_{g_x} = mg \sin(\alpha) $, где $ m $ – масса поезда, $ g $ – ускорение свободного падения, $ \alpha $ – угол наклона.

Сила сопротивления пропорциональна силе нормальной реакции $ N $ и определяется как $ F_{сопр} = \mu N $, где $ \mu $ – коэффициент сопротивления. Сила нормальной реакции на наклонной плоскости равна $ N = mg \cos(\alpha) $.

Таким образом, сила тяги равна:

$ F_{тяги} = mg \sin(\alpha) + \mu mg \cos(\alpha) = mg(\sin(\alpha) + \mu \cos(\alpha)) $

Поскольку углы наклона $ \alpha_1 $ и $ \alpha_2 $ очень малы (указаны в радианах), можно использовать приближения для малых углов: $ \sin(\alpha) \approx \alpha $ и $ \cos(\alpha) \approx 1 $.

С учетом этих приближений выражение для силы тяги упрощается:

$ F_{тяги} \approx mg(\alpha + \mu) $

Теперь запишем выражения для мощности в первом и втором случаях:

$ P_1 = F_{тяги, 1} \cdot v_1 = mg(\alpha_1 + \mu)v_1 $

$ P_2 = F_{тяги, 2} \cdot v_2 = mg(\alpha_2 + \mu)v_2 $

Так как мощность в обоих случаях одинакова ($ P_1 = P_2 $), мы можем приравнять эти два выражения:

$ mg(\alpha_1 + \mu)v_1 = mg(\alpha_2 + \mu)v_2 $

Масса поезда $ m $ и ускорение свободного падения $ g $ сокращаются:

$ (\alpha_1 + \mu)v_1 = (\alpha_2 + \mu)v_2 $

Раскроем скобки и выразим искомый коэффициент сопротивления $ \mu $:

$ \alpha_1 v_1 + \mu v_1 = \alpha_2 v_2 + \mu v_2 $

$ \mu v_1 - \mu v_2 = \alpha_2 v_2 - \alpha_1 v_1 $

$ \mu(v_1 - v_2) = \alpha_2 v_2 - \alpha_1 v_1 $

Чтобы избежать отрицательного знаменателя, изменим знаки в обеих частях уравнения:

$ \mu(v_2 - v_1) = \alpha_1 v_1 - \alpha_2 v_2 $

$ \mu = \frac{\alpha_1 v_1 - \alpha_2 v_2}{v_2 - v_1} $

В полученной формуле единицы измерения скорости сокращаются, поэтому можно подставлять значения в км/ч.

Подставим числовые значения из условия задачи:

$ \mu = \frac{(5,0 \cdot 10^{-3} \cdot 50) - (2,5 \cdot 10^{-3} \cdot 60)}{60 - 50} $

$ \mu = \frac{250 \cdot 10^{-3} - 150 \cdot 10^{-3}}{10} $

$ \mu = \frac{100 \cdot 10^{-3}}{10} = \frac{0,1}{10} = 0,01 $

Ответ: коэффициент сопротивления $ \mu $ равен 0,01.