Номер 510, страница 95 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$l = 2.0$ км

$v_1 = 54$ км/ч

$v_2 = 72$ км/ч

$m = 8.0 \cdot 10^5$ кг

$\mu = 0.0050$

$g \approx 9.8$ м/с$^2$

Перевод в систему СИ:

$l = 2.0 \cdot 10^3$ м

$v_1 = 54 \cdot \frac{1000}{3600} \text{ м/с} = 15$ м/с

$v_2 = 72 \cdot \frac{1000}{3600} \text{ м/с} = 20$ м/с

Найти:

$A - ?$

$\langle P \rangle - ?$

Решение:

Для нахождения работы $A$, совершаемой двигателем, воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии. Полная работа всех сил, действующих на поезд, равна изменению его кинетической энергии:

$A_{полн} = \Delta E_k = E_{k2} - E_{k1}$

Полная работа складывается из работы двигателя $A$ и работы силы сопротивления $A_{сопр}$:

$A_{полн} = A + A_{сопр}$

Следовательно, работа, совершаемая двигателем, равна:

$A = \Delta E_k - A_{сопр}$

Изменение кинетической энергии поезда:

$\Delta E_k = \frac{m v_2^2}{2} - \frac{m v_1^2}{2} = \frac{m}{2} (v_2^2 - v_1^2)$

$\Delta E_k = \frac{8.0 \cdot 10^5 \text{ кг}}{2} \cdot ((20 \text{ м/с})^2 - (15 \text{ м/с})^2) = 4.0 \cdot 10^5 \cdot (400 - 225) = 4.0 \cdot 10^5 \cdot 175 = 7.0 \cdot 10^7 \text{ Дж}$

Сила сопротивления на горизонтальном участке пути постоянна и равна $F_{сопр} = \mu N = \mu m g$, где $N$ - сила нормальной реакции опоры. Работа силы сопротивления отрицательна, так как она направлена против движения поезда:

$A_{сопр} = -F_{сопр} \cdot l = -\mu m g l$

$A_{сопр} = -0.0050 \cdot 8.0 \cdot 10^5 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 2.0 \cdot 10^3 \text{ м} = -7.84 \cdot 10^7 \text{ Дж}$

Теперь найдем работу двигателя:

$A = 7.0 \cdot 10^7 \text{ Дж} - (-7.84 \cdot 10^7 \text{ Дж}) = (7.0 + 7.84) \cdot 10^7 \text{ Дж} = 14.84 \cdot 10^7 \text{ Дж}$

Округляя до двух значащих цифр, получаем $A \approx 1.5 \cdot 10^8 \text{ Дж}$ или $150 \text{ МДж}$.

Для нахождения средней мощности $\langle P \rangle$ воспользуемся формулой $\langle P \rangle = \frac{A}{t}$, где $t$ - время движения.

Поскольку поезд движется с постоянным ускорением, время движения можно найти из формулы для пути: $l = \frac{v_1 + v_2}{2} t$.

$t = \frac{2l}{v_1 + v_2}$

$t = \frac{2 \cdot 2.0 \cdot 10^3 \text{ м}}{15 \text{ м/с} + 20 \text{ м/с}} = \frac{4000}{35} \text{ с} \approx 114.3 \text{ с}$

Вычислим среднюю мощность:

$\langle P \rangle = \frac{A}{t} = \frac{14.84 \cdot 10^7 \text{ Дж}}{114.3 \text{ с}} \approx 1.298 \cdot 10^6 \text{ Вт}$

Округляя до двух значащих цифр, получаем $\langle P \rangle \approx 1.3 \cdot 10^6 \text{ Вт}$ или $1.3 \text{ МВт}$.

Ответ: работа двигателя $A \approx 1.5 \cdot 10^8 \text{ Дж}$ (150 МДж), средняя мощность $\langle P \rangle \approx 1.3 \cdot 10^6 \text{ Вт}$ (1.3 МВт).