Номер 503, страница 94 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Максимальный угол наклона дороги $\alpha_{max} = 30^\circ$

Скорость автомобиля $v = 72 \frac{км}{ч}$

Ускорение свободного падения $g \approx 10 \frac{м}{с^2}$

Переведем скорость в систему СИ:
$v = 72 \frac{км}{ч} = 72 \cdot \frac{1000 \ м}{3600 \ с} = 20 \frac{м}{с}$

Найти:

Тормозной путь $s$

Решение:

Задача состоит из двух частей. Сначала найдем коэффициент трения скольжения колес о дорогу, используя условие удержания автомобиля на наклонной плоскости. Затем, зная коэффициент трения, рассчитаем тормозной путь на горизонтальном участке.

1. На наклонной плоскости при максимальном угле $\alpha_{max}$ автомобиль находится в равновесии. На него действуют три силы: сила тяжести $m\vec{g}$, сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$ и сила трения скольжения $\vec{F}_{тр}$. Так как автомобиль находится на грани соскальзывания, сила трения максимальна и уравновешивает проекцию силы тяжести на наклонную плоскость.

Запишем условие равновесия в проекциях на оси координат. Направим ось $Ox$ вдоль наклонной плоскости вниз, а ось $Oy$ — перпендикулярно ей вверх.
Проекция на ось $Oy$: $N - mg \cos(\alpha_{max}) = 0 \implies N = mg \cos(\alpha_{max})$.
Проекция на ось $Ox$: $mg \sin(\alpha_{max}) - F_{тр} = 0$.

Сила трения скольжения определяется как $F_{тр} = \mu N$, где $\mu$ — коэффициент трения. Подставив выражение для $N$, получим $F_{тр} = \mu mg \cos(\alpha_{max})$.
Из проекции на ось $Ox$ имеем: $mg \sin(\alpha_{max}) = \mu mg \cos(\alpha_{max})$.
Отсюда выражаем коэффициент трения:
$\mu = \frac{\sin(\alpha_{max})}{\cos(\alpha_{max})} = \tan(\alpha_{max})$.

2. Теперь рассмотрим торможение автомобиля на горизонтальном участке. Движение является равнозамедленным. Единственная сила, действующая в горизонтальном направлении и вызывающая замедление, — это сила трения скольжения $F_{тр}$.

По второму закону Ньютона: $ma = F_{тр}$.
На горизонтальной поверхности сила нормальной реакции опоры $N = mg$.
Сила трения $F_{тр} = \mu N = \mu mg$.
Тогда $ma = \mu mg$, откуда модуль ускорения (замедления) автомобиля $a = \mu g$.

Для равнозамедленного движения тормозной путь $s$ связан с начальной скоростью $v$ и ускорением $a$ формулой $s = \frac{v^2}{2a}$.
Подставим выражение для ускорения: $s = \frac{v^2}{2\mu g}$.

Теперь подставим найденное ранее выражение для коэффициента трения $\mu = \tan(\alpha_{max})$:
$s = \frac{v^2}{2g \tan(\alpha_{max})}$.

Выполним численный расчет:
$s = \frac{(20 \frac{м}{с})^2}{2 \cdot 10 \frac{м}{с^2} \cdot \tan(30^\circ)} = \frac{400}{20 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{20}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 20\sqrt{3} \ м$.
$s \approx 20 \cdot 1.732 \approx 34.64 \ м$.

Ответ: тормозной путь автомобиля составляет $s = 20\sqrt{3} \ м \approx 34.6 \ м$.