Номер 501, страница 94 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$v = 72 \frac{км}{ч}$
$h = 5,0 \text{ м}$
$l = 1,0 \text{ км}$
$\mu = 0,020$

Переведем данные в систему СИ:

$v = 72 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 20 \frac{м}{с}$
$l = 1,0 \cdot 1000 \text{ м} = 1000 \text{ м}$

Найти:

$l_1$

Решение:

Воспользуемся законом сохранения энергии с учетом работы сил сопротивления. Начальная кинетическая энергия автомобиля $E_к$ расходуется на совершение работы против силы тяжести $A_{тяж}$ и работы против силы сопротивления $A_{сопр}$ до полной остановки.

$E_к = A_{тяж} + A_{сопр}$

Начальная кинетическая энергия автомобиля равна:

$E_к = \frac{m v^2}{2}$, где $m$ - масса автомобиля.

Когда автомобиль поднимается на расстояние $l_1$ вдоль уклона, он достигает высоты $h_1$. Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии:

$A_{тяж} = m g h_1$

Уклон горы задан как подъем $h$ на пути $l$. Это позволяет найти синус угла наклона горы $\alpha$:

$\sin \alpha = \frac{h}{l} = \frac{5,0 \text{ м}}{1000 \text{ м}} = 0,005$

Высота подъема $h_1$ связана с пройденным путем $l_1$ через тот же угол:

$h_1 = l_1 \sin \alpha$

Работа силы сопротивления $A_{сопр}$ определяется как произведение силы сопротивления $F_{сопр}$ на пройденный путь $l_1$:

$A_{сопр} = F_{сопр} \cdot l_1$

Сила сопротивления пропорциональна силе нормальной реакции опоры $N$:

$F_{сопр} = \mu N$

На наклонной плоскости сила нормальной реакции равна проекции силы тяжести на ось, перпендикулярную плоскости:

$N = m g \cos \alpha$

Таким образом, $F_{сопр} = \mu m g \cos \alpha$.

Подставим все выражения в исходное уравнение закона сохранения энергии:

$\frac{m v^2}{2} = m g h_1 + F_{сопр} \cdot l_1$

$\frac{m v^2}{2} = m g (l_1 \sin \alpha) + (\mu m g \cos \alpha) \cdot l_1$

Масса автомобиля $m$ сокращается:

$\frac{v^2}{2} = g l_1 \sin \alpha + \mu g l_1 \cos \alpha$

Вынесем $g l_1$ за скобки:

$\frac{v^2}{2} = g l_1 (\sin \alpha + \mu \cos \alpha)$

Отсюда выразим искомое расстояние $l_1$:

$l_1 = \frac{v^2}{2g(\sin \alpha + \mu \cos \alpha)}$

Найдем $\cos \alpha$. Так как угол $\alpha$ очень мал ($\sin \alpha = 0,005$), то $\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - 0,005^2} \approx 1$. Можно использовать это приближение.

Подставим числовые значения (примем $g \approx 9,8 \frac{м}{с^2}$):

$l_1 = \frac{(20 \frac{м}{с})^2}{2 \cdot 9,8 \frac{м}{с^2}(0,005 + 0,020 \cdot 1)} = \frac{400}{19,6 \cdot 0,025} = \frac{400}{0,49} \approx 816,3 \text{ м}$

Учитывая, что исходные данные приведены с двумя значащими цифрами, округлим результат.

$l_1 \approx 820 \text{ м}$

Ответ: Автомобиль поднимется в гору на расстояние приблизительно 820 м.