Номер 505, страница 94 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m = 2,0 \text{ т} = 2,0 \cdot 10^3 \text{ кг}$

$\sin \alpha = 0,020$

$l = 0,10 \text{ км} = 100 \text{ м}$

$v = 27 \text{ м/с}$

$v_0 = 0 \text{ м/с}$ (разгоняется с места)

$\mu = 0,050$

Найти:

$\langle P \rangle$

Решение:

Средняя полезная мощность $\langle P \rangle$, развиваемая двигателем автомобиля, определяется как отношение полезной работы $A_{тяг}$, совершенной силой тяги двигателя, ко времени $t$, за которое эта работа была совершена:

$\langle P \rangle = \frac{A_{тяг}}{t}$

Полезная работа силы тяги идет на увеличение кинетической энергии автомобиля ($\Delta E_{к}$), увеличение его потенциальной энергии ($\Delta E_{п}$) и на преодоление силы сопротивления ($A_{сопр}$). Согласно теореме об изменении механической энергии:

$A_{тяг} = \Delta E_{к} + \Delta E_{п} + |A_{сопр}|$

1. Найдем изменение кинетической энергии автомобиля. Так как автомобиль разгоняется с места ($v_0 = 0$), то:

$\Delta E_{к} = \frac{mv^2}{2} = \frac{2,0 \cdot 10^3 \text{ кг} \cdot (27 \text{ м/с})^2}{2} = 729000 \text{ Дж}$

2. Найдем изменение потенциальной энергии. При движении в гору на расстояние $l$ автомобиль поднимается на высоту $h = l \sin \alpha$:

$\Delta E_{п} = mgh = mgl \sin \alpha = 2,0 \cdot 10^3 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 100 \text{ м} \cdot 0,020 = 39200 \text{ Дж}$

3. Найдем работу против силы сопротивления. Сила сопротивления $F_{сопр}$ пропорциональна силе нормальной реакции опоры $N$: $F_{сопр} = \mu N$. При движении по наклонной плоскости $N = mg \cos \alpha$. Тогда работа против силы сопротивления:

$|A_{сопр}| = F_{сопр} \cdot l = \mu mg l \cos \alpha$

Найдем $\cos \alpha$ из основного тригонометрического тождества: $\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - (0,020)^2} = \sqrt{0,9996} \approx 0,9998$.

Так как значение $\cos \alpha$ очень близко к 1, для расчетов можно использовать приближение $\cos \alpha \approx 1$.

$|A_{сопр}| \approx \mu mgl = 0,050 \cdot 2,0 \cdot 10^3 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 100 \text{ м} = 98000 \text{ Дж}$

4. Теперь найдем полную работу силы тяги:

$A_{тяг} = 729000 \text{ Дж} + 39200 \text{ Дж} + 98000 \text{ Дж} = 866200 \text{ Дж}$

5. Для нахождения средней мощности необходимо определить время движения $t$. Предполагая, что движение было равноускоренным, пройденный путь $l$ связан с начальной ($v_0$) и конечной ($v$) скоростями и временем $t$ соотношением $l = \frac{v_0+v}{2}t$.

$t = \frac{2l}{v_0+v} = \frac{2 \cdot 100 \text{ м}}{0 + 27 \text{ м/с}} = \frac{200}{27} \text{ с}$

6. Теперь можно вычислить среднюю мощность:

$\langle P \rangle = \frac{A_{тяг}}{t} = \frac{866200 \text{ Дж}}{200/27 \text{ с}} = \frac{866200 \cdot 27}{200} = 4331 \cdot 27 = 116937 \text{ Вт}$

Учитывая, что данные в задаче приведены с двумя значащими цифрами ($m=2,0$ т, $l=0,10$ км и т.д.), округлим результат до двух значащих цифр.

$\langle P \rangle \approx 1,2 \cdot 10^5 \text{ Вт} = 120 \text{ кВт}$

Ответ: $\langle P \rangle \approx 120 \text{ кВт}$.