Номер 508, страница 95 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m = 12$ т

$h = 12$ м

$l = 0,18$ км

$v_1 = 10$ м/с

$v_2 = 6,0$ м/с

$μ = 0,030$

В системе СИ:

$m = 12 \cdot 10^3$ кг

$l = 0,18 \cdot 10^3$ м = $180$ м

Найти:

$\langle P \rangle, P$

Решение:

Будем считать, что сила тяги двигателя троллейбуса $F_{тяг}$ постоянна на всем подъеме. В этом случае движение будет равноускоренным. Найдем ускорение троллейбуса по кинематической формуле:

$l = \frac{v_2^2 - v_1^2}{2a} \Rightarrow a = \frac{v_2^2 - v_1^2}{2l}$

$a = \frac{(6 \text{ м/с})^2 - (10 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 180 \text{ м}} = \frac{36 - 100}{360} \frac{\text{м}^2/\text{с}^2}{\text{м}} = \frac{-64}{360} \text{ м/с}^2 = -\frac{8}{45} \text{ м/с}^2$

Знак минус означает, что движение было равнозамедленным.

Запишем второй закон Ньютона для троллейбуса в проекции на направление движения (вверх по склону). На троллейбус действуют: сила тяги $F_{тяг}$, сила тяжести $mg$, сила нормальной реакции опоры $N$ и сила сопротивления $F_{сопр}$.

$ma = F_{тяг} - mg \sin\alpha - F_{сопр}$

где $\alpha$ - угол наклона подъема. Сила сопротивления $F_{сопр} = \mu N$. В проекции на ось, перпендикулярную склону, $N = mg \cos\alpha$. Следовательно, $F_{сопр} = \mu mg \cos\alpha$.

Выразим синус и косинус угла наклона через высоту $h$ и длину подъема $l$:

$\sin\alpha = \frac{h}{l} = \frac{12 \text{ м}}{180 \text{ м}} = \frac{1}{15}$

$\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - (\frac{1}{15})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{225}} = \sqrt{\frac{224}{225}} = \frac{\sqrt{16 \cdot 14}}{15} = \frac{4\sqrt{14}}{15}$

Теперь найдем силу тяги из второго закона Ньютона:

$F_{тяг} = ma + mg \sin\alpha + \mu mg \cos\alpha = m(a + g(\sin\alpha + \mu \cos\alpha))$

Подставим числовые значения (примем $g = 9,8$ м/с²):

$F_{тяг} = 12000 \cdot (-\frac{8}{45} + 9,8 \cdot (\frac{1}{15} + 0,030 \cdot \frac{4\sqrt{14}}{15})) \approx 12000 \cdot (-0,178 + 9,8 \cdot (\frac{1 + 0,12\sqrt{14}}{15}))$

$F_{тяг} \approx 12000 \cdot (-0,178 + \frac{9,8}{15} \cdot (1 + 0,12 \cdot 3,742)) \approx 12000 \cdot (-0,178 + 0,653 \cdot 1,449) \approx 12000 \cdot (-0,178 + 0,946) = 12000 \cdot 0,768 = 9216$ Н

Конечная мощность $P$ (мощность в конце подъема) равна произведению силы тяги на конечную скорость $v_2$:

$P = F_{тяг} \cdot v_2 = 9216 \text{ Н} \cdot 6,0 \text{ м/с} = 55296$ Вт $\approx 55,3$ кВт

Средняя мощность $\langle P \rangle$ при движении с постоянной силой тяги равна произведению силы тяги на среднюю скорость $\langle v \rangle$:

$\langle v \rangle = \frac{v_1 + v_2}{2} = \frac{10 \text{ м/с} + 6,0 \text{ м/с}}{2} = 8,0$ м/с

$\langle P \rangle = F_{тяг} \cdot \langle v \rangle = 9216 \text{ Н} \cdot 8,0 \text{ м/с} = 73728$ Вт $\approx 73,7$ кВт

Проверим результат для средней мощности через теорему об изменении энергии. Работа двигателя $A_{двиг}$ идет на изменение кинетической энергии $\Delta E_k$, потенциальной энергии $\Delta E_p$ и на преодоление силы сопротивления $A_{сопр}$.

$A_{двиг} = \Delta E_k + \Delta E_p + |A_{сопр}|$

$\Delta E_k = \frac{m v_2^2}{2} - \frac{m v_1^2}{2} = \frac{12000}{2}(6^2 - 10^2) = 6000 \cdot (-64) = -384000$ Дж

$\Delta E_p = mgh = 12000 \cdot 9,8 \cdot 12 = 1411200$ Дж

$|A_{сопр}| = F_{сопр} \cdot l = \mu mg \cos\alpha \cdot l = 0,030 \cdot 12000 \cdot 9,8 \cdot \frac{4\sqrt{14}}{15} \cdot 180 \approx 633658$ Дж

$A_{двиг} = -384000 + 1411200 + 633658 = 1660858$ Дж

Время движения $t = \frac{l}{\langle v \rangle} = \frac{180 \text{ м}}{8 \text{ м/с}} = 22,5$ с

$\langle P \rangle = \frac{A_{двиг}}{t} = \frac{1660858 \text{ Дж}}{22,5 \text{ с}} \approx 73816$ Вт $\approx 73,8$ кВт

Результаты, полученные двумя способами, близки. Небольшое расхождение связано с округлениями в промежуточных вычислениях. Будем использовать значения, полученные вторым, более точным методом.

$F_{тяг} = \frac{A_{двиг}}{l} = \frac{1660858 \text{ Дж}}{180 \text{ м}} \approx 9227$ Н

$P = F_{тяг} \cdot v_2 = 9227 \text{ Н} \cdot 6,0 \text{ м/с} \approx 55362$ Вт $\approx 55,4$ кВт

$\langle P \rangle \approx 73,8$ кВт

Ответ: средняя мощность $\langle P \rangle \approx 73,8$ кВт, конечная мощность $P \approx 55,4$ кВт.