Номер 512, страница 95 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m = 2,0 \text{ т}$

$h = 4,0 \text{ м}$

$s_1 = 0,10 \text{ км}$

$\mu = 0,080$

$s_2 = 3,0 \text{ км}$

$\Delta t = 4 \text{ мин}$

Перевод в СИ:

$m = 2,0 \times 10^3 \text{ кг}$

$s_1 = 0,10 \times 10^3 \text{ м} = 100 \text{ м}$

$s_2 = 3,0 \times 10^3 \text{ м}$

$\Delta t = 4 \times 60 \text{ с} = 240 \text{ с}$

Найти:

$A, \langle P \rangle$

Решение:

Работа $A$, совершаемая двигателем автомобиля, идет на преодоление составляющей силы тяжести, направленной против движения, и силы сопротивления. Будем считать, что автомобиль движется равномерно. Тогда сила тяги двигателя $F_т$ уравновешивает сумму проекции силы тяжести на наклонную плоскость $F_{g,x}$ и силы сопротивления $F_{сопр}$.

$F_т = F_{g,x} + F_{сопр}$

Найдем синус угла наклона дороги $\alpha$ из данных об уклоне: высота подъема $h$ на пути $s_1$.

$\sin \alpha = \frac{h}{s_1} = \frac{4,0 \text{ м}}{100 \text{ м}} = 0,040$

Найдем косинус угла наклона:

$\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - (0,040)^2} = \sqrt{1 - 0,0016} = \sqrt{0,9984} \approx 0,9992$

Проекция силы тяжести на направление движения (вдоль уклона) равна:

$F_{g,x} = mg \sin \alpha$

Сила сопротивления $F_{сопр}$ пропорциональна силе нормальной реакции опоры $N$:

$F_{сопр} = \mu N$

Сила нормальной реакции опоры $N$ равна проекции силы тяжести на направление, перпендикулярное уклону:

$N = mg \cos \alpha$

Следовательно, сила сопротивления равна:

$F_{сопр} = \mu mg \cos \alpha$

Теперь можем найти общую силу тяги $F_т$, которую должен развить двигатель:

$F_т = mg \sin \alpha + \mu mg \cos \alpha = mg(\sin \alpha + \mu \cos \alpha)$

Подставим числовые значения для расчета силы тяги (примем $g = 9,8 \text{ м/с}^2$):

$F_т = 2,0 \times 10^3 \text{ кг} \times 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \times (0,040 + 0,080 \times 0,9992) = 19600 \text{ Н} \times (0,040 + 0,079936) = 19600 \text{ Н} \times 0,119936 \approx 2350,7 \text{ Н}$

Работа $A$, совершаемая двигателем на пути $s_2$, вычисляется по формуле:

$A = F_т \cdot s_2$

$A \approx 2350,7 \text{ Н} \times 3,0 \times 10^3 \text{ м} \approx 7,052 \times 10^6 \text{ Дж}$

Округляя результат до двух значащих цифр, в соответствии с точностью исходных данных, получаем:

$A \approx 7,1 \times 10^6 \text{ Дж} = 7,1 \text{ МДж}$

Средняя мощность $\langle P \rangle$, развиваемая двигателем, определяется как отношение совершенной работы $A$ ко времени $\Delta t$, за которое эта работа была совершена:

$\langle P \rangle = \frac{A}{\Delta t}$

Подставим значения, используя не округленное значение работы для большей точности расчетов:

$\langle P \rangle = \frac{7,052 \times 10^6 \text{ Дж}}{240 \text{ с}} \approx 29384 \text{ Вт}$

Округляя результат до двух значащих цифр, получаем:

$\langle P \rangle \approx 2,9 \times 10^4 \text{ Вт} = 29 \text{ кВт}$

Ответ: работа, совершаемая двигателем автомобиля, $A \approx 7,1 \text{ МДж}$; средняя мощность, развиваемая двигателем, $\langle P \rangle \approx 29 \text{ кВт}$.