Номер 511, страница 95 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Мощность электровоза, $P = 0,52$ МВт

Масса состава, $m = 1,5 \cdot 10^6$ кг

Скорость состава, $v = 7,2$ км/ч

Коэффициент сопротивления, $\mu = 0,0027$

Перевод в систему СИ:

$P = 0,52 \text{ МВт} = 0,52 \cdot 10^6 \text{ Вт}$

$v = 7,2 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 7,2 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 2 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Найти:

Максимальный подъем, $\sin \alpha$

Решение:

Электровоз двигает состав с постоянной скоростью, следовательно, его ускорение равно нулю. Согласно первому закону Ньютона, это означает, что сумма всех сил, действующих на состав в направлении движения, равна нулю. Сила тяги электровоза $F_т$ уравновешивает сумму сил, препятствующих движению: силу сопротивления $F_с$ и проекцию силы тяжести на направление движения $F_{g_x}$.

Запишем уравнение баланса сил вдоль наклонной плоскости:

$F_т = F_с + F_{g_x}$

Сила тяги электровоза связана с его мощностью $P$ и скоростью $v$ соотношением:

$P = F_т \cdot v$, откуда $F_т = \frac{P}{v}$

Сила сопротивления пропорциональна силе нормальной реакции. В задачах о движении поездов по небольшим уклонам, где угол $\alpha$ мал, сила нормальной реакции $N$ примерно равна силе тяжести $mg$ ($N = mg \cos \alpha \approx mg$). Поэтому силу сопротивления можно рассчитать как:

$F_с = \mu \cdot mg$

Проекция силы тяжести на наклонную плоскость равна:

$F_{g_x} = mg \sin \alpha$

Подставим выражения для сил в уравнение баланса:

$\frac{P}{v} = \mu mg + mg \sin \alpha$

Выразим из этого уравнения искомый подъем $\sin \alpha$:

$mg \sin \alpha = \frac{P}{v} - \mu mg$

$\sin \alpha = \frac{P}{mgv} - \mu$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$\sin \alpha = \frac{0,52 \cdot 10^6}{1,5 \cdot 10^6 \cdot 10 \cdot 2} - 0,0027$

$\sin \alpha = \frac{0,52 \cdot 10^6}{3 \cdot 10^7} - 0,0027$

$\sin \alpha = \frac{0,52}{30} - 0,0027 \approx 0,01733 - 0,0027 = 0,01463$

Округляя до двух значащих цифр, получаем:

$\sin \alpha \approx 0,015$

Ответ: максимальный подъем, который может преодолеть электровоз, составляет $\sin \alpha \approx 0,015$.