Номер 504, страница 94 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m = 0,50 \text{ т}$

$\Delta t = 60 \text{ с}$

$F = 0,10 \text{ кН}$

$v_0 = 0 \text{ м/с}$

Переведем данные в систему СИ:

$m = 0,50 \cdot 10^3 \text{ кг} = 500 \text{ кг}$

$F = 0,10 \cdot 10^3 \text{ Н} = 100 \text{ Н}$

Найти:

$\langle P \rangle, P_{max}$

Решение:

Мгновенная мощность, развиваемая силой, определяется формулой $P = F \cdot v$, где $v$ — мгновенная скорость тела.

Так как на тело действует постоянная сила, оно движется с постоянным ускорением. Согласно второму закону Ньютона, ускорение тела равно:

$a = \frac{F}{m}$

Скорость тела, движущегося с постоянным ускорением из состояния покоя ($v_0 = 0$), в момент времени $t$ равна:

$v(t) = a \cdot t = \frac{F}{m} \cdot t$

Тогда мгновенная мощность как функция времени имеет вид:

$P(t) = F \cdot v(t) = F \cdot \frac{F}{m} \cdot t = \frac{F^2}{m} \cdot t$

Из полученной формулы видно, что мощность линейно зависит от времени. Следовательно, максимальная мощность будет достигнута в конце промежутка времени $\Delta t$.

Найдем максимальную скорость тела в момент времени $\Delta t = 60 \text{ с}$:

$v_{max} = v(\Delta t) = \frac{F}{m} \cdot \Delta t = \frac{100 \text{ Н}}{500 \text{ кг}} \cdot 60 \text{ с} = 0,2 \text{ м/с}^2 \cdot 60 \text{ с} = 12 \text{ м/с}$

Теперь можем найти максимальную мощность:

$P_{max} = F \cdot v_{max} = 100 \text{ Н} \cdot 12 \text{ м/с} = 1200 \text{ Вт} = 1,2 \text{ кВт}$

Среднюю мощность можно найти как отношение всей совершенной работы $A$ ко времени $\Delta t$, за которое эта работа была совершена: $\langle P \rangle = \frac{A}{\Delta t}$.

Работу найдем по формуле $A = F \cdot s$, где $s$ — пройденный путь. Путь при равноускоренном движении из состояния покоя равен:

$s = \frac{a \cdot (\Delta t)^2}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{F}{m} \cdot (\Delta t)^2$

$s = \frac{1}{2} \cdot 0,2 \text{ м/с}^2 \cdot (60 \text{ с})^2 = 0,1 \text{ м/с}^2 \cdot 3600 \text{ с}^2 = 360 \text{ м}$

Тогда работа равна:

$A = F \cdot s = 100 \text{ Н} \cdot 360 \text{ м} = 36000 \text{ Дж}$

Средняя мощность равна:

$\langle P \rangle = \frac{A}{\Delta t} = \frac{36000 \text{ Дж}}{60 \text{ с}} = 600 \text{ Вт} = 0,6 \text{ кВт}$

Альтернативный способ нахождения средней мощности: так как мощность изменяется линейно от $P_{min} = P(0) = 0$ до $P_{max}$, среднюю мощность можно найти как среднее арифметическое начальной и конечной мощностей:

$\langle P \rangle = \frac{P_{min} + P_{max}}{2} = \frac{0 + 1200 \text{ Вт}}{2} = 600 \text{ Вт} = 0,6 \text{ кВт}$

Ответ:

Средняя мощность $\langle P \rangle = 600 \text{ Вт}$ (или $0,6 \text{ кВт}$); максимальная мощность $P_{max} = 1200 \text{ Вт}$ (или $1,2 \text{ кВт}$).