Номер 497, страница 93 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Длина наклонной плоскости: $l$

Угол наклона плоскости: $α$

Коэффициент трения: $μ$

Начальная скорость тела: $v_0 = 0$

Ускорение свободного падения: $g$

Найти:

Скорость тела у основания плоскости: $v$

Решение:

Для решения задачи применим закон изменения механической энергии. Согласно этому закону, изменение полной механической энергии тела равно работе неконсервативных сил. В данном случае единственной неконсервативной силой, совершающей работу, является сила трения.

$\Delta E = A_{тр}$

Изменение полной механической энергии равно разности конечной и начальной энергий:

$\Delta E = E_{кон} - E_{нач} = (E_{к} + E_{п}) - (E_{к0} + E_{п0})$

Здесь $E_{к0}$ и $E_{п0}$ — начальные кинетическая и потенциальная энергии, а $E_{к}$ и $E_{п}$ — конечные.

Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии основание наклонной плоскости. Тело начинает скользить с высоты $h$, которую можно выразить через длину плоскости $l$ и угол наклона $α$: $h = l \sin(α)$.

Начальная энергия тела (на вершине плоскости):

Поскольку тело начинает скользить из состояния покоя, его начальная кинетическая энергия равна нулю: $E_{к0} = 0$.

Начальная потенциальная энергия: $E_{п0} = mgh = mgl \sin(α)$.

Конечная энергия тела (у основания плоскости):

У основания плоскости высота равна нулю, поэтому конечная потенциальная энергия равна нулю: $E_{п} = 0$.

Конечная кинетическая энергия: $E_{к} = \frac{mv^2}{2}$, где $v$ — искомая скорость.

Теперь найдем работу силы трения $A_{тр}$. Сила трения направлена против движения, поэтому ее работа отрицательна:

$A_{тр} = -F_{тр} \cdot l$

Сила трения скольжения $F_{тр}$ равна произведению коэффициента трения $μ$ на силу нормальной реакции опоры $N$. На наклонной плоскости сила нормальной реакции уравновешивает компоненту силы тяжести, перпендикулярную плоскости:

$N = mg \cos(α)$

Следовательно, сила трения: $F_{тр} = \mu N = \mu mg \cos(α)$.

Тогда работа силы трения: $A_{тр} = -\mu mg l \cos(α)$.

Подставим все найденные выражения в исходное уравнение закона изменения энергии:

$(\frac{mv^2}{2} + 0) - (0 + mgl \sin(α)) = -\mu mg l \cos(α)$

$\frac{mv^2}{2} - mgl \sin(α) = -\mu mg l \cos(α)$

Выразим кинетическую энергию:

$\frac{mv^2}{2} = mgl \sin(α) - \mu mg l \cos(α)$

Разделим обе части уравнения на массу $m$:

$\frac{v^2}{2} = gl \sin(α) - \mu gl \cos(α)$

Вынесем $gl$ за скобки в правой части:

$\frac{v^2}{2} = gl(\sin(α) - \mu \cos(α))$

Умножим обе части на 2:

$v^2 = 2gl(\sin(α) - \mu \cos(α))$

Наконец, извлечем квадратный корень, чтобы найти модуль скорости $v$:

$v = \sqrt{2gl(\sin(α) - \mu \cos(α))}$

Ответ: $v = \sqrt{2gl(\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha))}$