Номер 493, страница 92 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m = 50 \text{ кг}$

$l = 9,0 \text{ м}$

$\alpha = 30^\circ$

$\mu = 0,50$

$g \approx 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Найти:

$A$

Решение:

На ящик действуют четыре силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз; сила реакции опоры $\vec{N}$, направленная вертикально вверх; сила трения $\vec{F}_{тр}$, направленная против движения; и толкающая сила $\vec{F}$, направленная под углом $\alpha$ к горизонту.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси координат. Ось $OX$ направим горизонтально по направлению движения, а ось $OY$ — вертикально вверх.

По условию, ящик передвигают равномерно, следовательно, его ускорение равно нулю ($a=0$). Это означает, что векторная сумма всех действующих на него сил равна нулю.

В проекции на ось $OY$:

$N - mg - F \sin\alpha = 0$

Из этого уравнения выразим силу реакции опоры $N$. Вертикальная составляющая силы $F$ ($F_y = F \sin\alpha$) направлена вниз, так как ящик толкают, и она прижимает ящик к полу.

$N = mg + F \sin\alpha$

В проекции на ось $OX$:

$F \cos\alpha - F_{тр} = 0$

Горизонтальная составляющая силы $F$ ($F_x = F \cos\alpha$) уравновешивает силу трения скольжения $F_{тр}$.

Сила трения скольжения определяется формулой $F_{тр} = \mu N$. Подставим сюда полученное выражение для $N$:

$F_{тр} = \mu (mg + F \sin\alpha)$

Теперь подставим это выражение для силы трения в уравнение для оси $OX$:

$F \cos\alpha - \mu (mg + F \sin\alpha) = 0$

Решим это уравнение относительно величины силы $F$:

$F \cos\alpha - \mu mg - \mu F \sin\alpha = 0$

$F \cos\alpha - \mu F \sin\alpha = \mu mg$

$F (\cos\alpha - \mu \sin\alpha) = \mu mg$

$F = \frac{\mu mg}{\cos\alpha - \mu \sin\alpha}$

Работа $A$, совершаемая силой $F$, вычисляется по определению как произведение модуля силы на модуль перемещения и на косинус угла между ними: $A = F \cdot l \cdot \cos\alpha$. Подставим найденное выражение для $F$:

$A = \left( \frac{\mu mg}{\cos\alpha - \mu \sin\alpha} \right) \cdot l \cdot \cos\alpha = \frac{\mu mg l \cos\alpha}{\cos\alpha - \mu \sin\alpha}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$

$\sin(30^\circ) = \frac{1}{2} = 0,5$

$A = \frac{0,50 \cdot 50 \text{ кг} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 9,0 \text{ м} \cdot \cos(30^\circ)}{\cos(30^\circ) - 0,50 \cdot \sin(30^\circ)} = \frac{2205 \text{ Дж} \cdot 0,866}{0,866 - 0,50 \cdot 0,5} = \frac{1909,53}{0,866 - 0,25} = \frac{1909,53}{0,616} \approx 3099,88 \text{ Дж}$

Округляя результат с учетом значащих цифр исходных данных (две значащие цифры), получаем:

$A \approx 3100 \text{ Дж} = 3,1 \text{ кДж}$

Ответ: $A \approx 3,1 \text{ кДж}$.