Номер 494, страница 93 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$α = 60°$

$t_α = 2,0$ с

$h = \text{const}$

$t_β = 2t_α$

Найти:

$β - ?$

$\frac{v_β}{v_α} - ?$

Решение:

Тело скользит по гладкой наклонной плоскости из состояния покоя, поэтому его движение является равноускоренным. Ускорение тела $a$ зависит от угла наклона плоскости $θ$ к горизонту и определяется проекцией силы тяжести на ось, параллельную наклонной плоскости: $a = g \sin θ$, где $g$ – ускорение свободного падения.

Длина наклонной плоскости $L$ связана с ее высотой $h$ соотношением $L = \frac{h}{\sin θ}$.

Путь, пройденный телом при равноускоренном движении без начальной скорости, равен $L = \frac{at^2}{2}$.

Подставим выражения для $L$ и $a$ в эту формулу:

$\frac{h}{\sin θ} = \frac{(g \sin θ) t^2}{2}$

Выразим из этого уравнения время движения $t$:

$2h = g t^2 \sin^2 θ$

$t^2 = \frac{2h}{g \sin^2 θ}$

$t = \frac{1}{\sin θ} \sqrt{\frac{2h}{g}}$

При каком угле β наклона плоскости (при неизменной ее высоте) продолжительность движения увеличится в два раза?

Запишем выражения для времени движения в первом случае (с углом $α$) и во втором случае (с углом $β$):

$t_α = \frac{1}{\sin α} \sqrt{\frac{2h}{g}}$

$t_β = \frac{1}{\sin β} \sqrt{\frac{2h}{g}}$

По условию $t_β = 2t_α$. Подставим выражения для времени:

$\frac{1}{\sin β} \sqrt{\frac{2h}{g}} = 2 \cdot \frac{1}{\sin α} \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Сократив одинаковые множители $\sqrt{\frac{2h}{g}}$, получим:

$\frac{1}{\sin β} = \frac{2}{\sin α}$

Отсюда выразим $\sin β$:

$\sin β = \frac{\sin α}{2}$

Подставим значение угла $α = 60°$:

$\sin β = \frac{\sin 60°}{2} = \frac{\sqrt{3}/2}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \approx 0,433$

Тогда угол $β$ равен:

$β = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right) \approx 25,7°$

Ответ: Продолжительность движения увеличится в два раза при угле наклона плоскости $β \approx 25,7°$.

Как при этом изменится модуль скорости тела в конце наклонной плоскости?

Модуль скорости тела в конце наклонной плоскости можно найти, используя закон сохранения энергии. В начальный момент времени тело находится на высоте $h$ и обладает потенциальной энергией $E_p = mgh$. Его начальная скорость равна нулю, поэтому кинетическая энергия $E_k = 0$. В конце спуска, у основания наклонной плоскости (примем этот уровень за нулевой), высота равна нулю, и вся начальная потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию $E_k = \frac{mv^2}{2}$.

По закону сохранения энергии:

$mgh = \frac{mv^2}{2}$

Выразим отсюда скорость $v$:

$v^2 = 2gh$

$v = \sqrt{2gh}$

Как видно из формулы, конечная скорость тела зависит только от высоты $h$, с которой оно начало скользить, и не зависит от угла наклона плоскости. Поскольку по условию задачи высота $h$ остается неизменной, то и конечная скорость тела в обоих случаях будет одинаковой:

$v_α = \sqrt{2gh}$

$v_β = \sqrt{2gh}$

Следовательно, $v_β = v_α$.

Ответ: Модуль скорости тела в конце наклонной плоскости не изменится.