Номер 521, страница 97 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$M$ - масса воздушного шара
$m$ - масса человека
$l$ - длина веревочной лестницы
$\vec{v}$ - скорость человека относительно лестницы

Найти:

$A$ - работа, которую должен совершить человек
$v_1$ - модуль скорости воздушного шара

Решение:

Какую работу должен совершить человек, чтобы подняться в корзину?

Рассмотрим систему, состоящую из воздушного шара, лестницы и человека. Поскольку система изначально покоится, сумма внешних сил (силы тяжести и выталкивающей силы Архимеда) равна нулю. Следовательно, центр масс системы не перемещается в вертикальном направлении.

Применим теорему об изменении механической энергии системы: работа внутренних неконсервативных сил (работа человека $A$) и внешних сил, не являющихся силой тяжести (работа выталкивающей силы $A_{F_A}$), равна изменению полной механической энергии системы.

$ A + A_{F_A} = \Delta E_k + \Delta E_p $

Поскольку система в начале и в конце покоится, изменение ее кинетической энергии $ \Delta E_k = 0 $.

Так как центр масс системы «шар + человек» не смещается, работа силы тяжести, приложенной к этому центру масс, равна нулю. Это означает, что изменение потенциальной энергии этой системы также равно нулю: $ \Delta E_p = 0 $.

Найдем работу выталкивающей силы $A_{F_A}$. Выталкивающая сила $F_A$ уравновешивает суммарный вес системы: $ F_A = (M+m)g $. Чтобы найти перемещение шара $h$, воспользуемся условием сохранения положения центра масс. Выберем ось OY, направленную вверх, с началом в начальном положении корзины шара. Начальные координаты человека и шара: $y_m = -l$, $y_M = 0$. Конечная координата и человека, и шара равна $h$.

$ y_{cm, нач} = \frac{m y_m + M y_M}{m+M} = \frac{m(-l) + M \cdot 0}{m+M} = -\frac{ml}{m+M} $

$ y_{cm, кон} = \frac{m h + M h}{m+M} = h $

Так как $ y_{cm, нач} = y_{cm, кон} $, то перемещение шара $ h = -\frac{ml}{M+m} $. Знак «минус» означает, что шар опустился.

Работа выталкивающей силы: $ A_{F_A} = F_A \cdot h = (M+m)g \cdot (-\frac{ml}{M+m}) = -mgl $.

Подставляя найденные значения в теорему об изменении энергии:

$ A + (-mgl) = 0 + 0 $

Отсюда находим работу, которую совершил человек:

$ A = mgl $

Ответ: Работа, которую должен совершить человек, равна $ A = mgl $.

Каким будет модуль скорости v_1 воздушного шара, если человек перемещается по лестнице со скоростью v относительно нее?

Поскольку сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю, для системы выполняется закон сохранения импульса. В начальный момент система покоилась, поэтому ее суммарный импульс был равен нулю. Он должен оставаться равным нулю и во время движения человека.

$ \vec{P}_{общ} = m\vec{v}_ч + M\vec{v}_1 = 0 $, где $ \vec{v}_ч $ — скорость человека, а $ \vec{v}_1 $ — скорость шара относительно Земли.

Скорость человека относительно Земли $ \vec{v}_ч $ складывается из его скорости относительно лестницы $ \vec{v} $ и скорости самой лестницы (шара) $ \vec{v}_1 $ относительно Земли: $ \vec{v}_ч = \vec{v} + \vec{v}_1 $.

Подставим это выражение в закон сохранения импульса:

$ m(\vec{v} + \vec{v}_1) + M\vec{v}_1 = 0 $

$ m\vec{v} + (m+M)\vec{v}_1 = 0 $

$ (m+M)\vec{v}_1 = -m\vec{v} $

Отсюда выразим скорость воздушного шара:

$ \vec{v}_1 = -\frac{m}{M+m}\vec{v} $

Знак «минус» показывает, что шар движется в направлении, противоположном движению человека по лестнице (т.е. вниз).

Модуль скорости шара $ v_1 $ равен:

$ v_1 = |\vec{v}_1| = \frac{m}{M+m}|\vec{v}| = \frac{mv}{M+m} $

Ответ: Модуль скорости воздушного шара будет равен $ v_1 = \frac{mv}{M+m} $.