Номер 577, страница 105 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Масса пули: $m$
Масса ящика: $M$
Начальная скорость пули: $\vec{v}$
Начальная скорость ящика: $v_{я0} = 0$
Конечная скорость пули: $\vec{v_к} = \frac{\vec{v}}{2}$

Найти:

Количество теплоты: $Q$

Решение:

Рассмотрим систему тел "пуля + ящик". Так как ящик находится на гладкой горизонтальной плоскости, то внешние силы в горизонтальном направлении на систему не действуют. Следовательно, для данной системы выполняется закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось.

Обозначим модуль начальной скорости пули как $v$. Тогда модуль конечной скорости пули будет $v/2$. Начальная скорость ящика равна нулю. Пусть $u$ — скорость ящика после того, как из него вылетела пуля. Запишем закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось, направленную вдоль начальной скорости пули:

$m v + M \cdot 0 = m \frac{v}{2} + M u$

Из этого уравнения выразим скорость ящика $u$:

$M u = m v - m \frac{v}{2}$

$M u = \frac{m v}{2}$

$u = \frac{m v}{2M}$

Выделившееся количество теплоты $Q$ равно убыли механической (в данном случае, кинетической) энергии системы. Начальная кинетическая энергия системы $E_{k1}$ равна кинетической энергии пули, так как ящик покоился:

$E_{k1} = \frac{m v^2}{2}$

Конечная кинетическая энергия системы $E_{k2}$ равна сумме кинетических энергий пули и ящика после их взаимодействия:

$E_{k2} = \frac{m (v/2)^2}{2} + \frac{M u^2}{2} = \frac{m v^2}{8} + \frac{M u^2}{2}$

Подставим в выражение для $E_{k2}$ найденную скорость ящика $u$:

$E_{k2} = \frac{m v^2}{8} + \frac{M}{2} \left( \frac{m v}{2M} \right)^2 = \frac{m v^2}{8} + \frac{M}{2} \frac{m^2 v^2}{4M^2} = \frac{m v^2}{8} + \frac{m^2 v^2}{8M}$

Теперь найдем количество выделившейся теплоты $Q$ как разность начальной и конечной кинетической энергии системы:

$Q = E_{k1} - E_{k2} = \frac{m v^2}{2} - \left( \frac{m v^2}{8} + \frac{m^2 v^2}{8M} \right)$

$Q = \frac{m v^2}{2} - \frac{m v^2}{8} - \frac{m^2 v^2}{8M}$

Приведем первые два слагаемых к общему знаменателю:

$Q = \frac{4m v^2 - m v^2}{8} - \frac{m^2 v^2}{8M} = \frac{3m v^2}{8} - \frac{m^2 v^2}{8M}$

Вынесем общий множитель за скобки, чтобы получить окончательный ответ:

$Q = \frac{mv^2}{8} \left( 3 - \frac{m}{M} \right) = \frac{mv^2(3M - m)}{8M}$

Ответ: $Q = \frac{mv^2(3M - m)}{8M}$.