Номер 590, страница 113 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Вещество: железо (Fe)

Объем $V = 1,0 \text{ см}^3$

Справочные данные:

Плотность железа $\rho \approx 7800 \text{ кг/м}^3$

Молярная масса железа $M \approx 56 \text{ г/моль}$

Число Авогадро $N_A \approx 6,02 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1}$

Перевод в систему СИ:

$V = 1,0 \text{ см}^3 = 1,0 \times (10^{-2} \text{ м})^3 = 1,0 \times 10^{-6} \text{ м}^3$

$M = 56 \text{ г/моль} = 0,056 \text{ кг/моль}$

Найти:

а) Число атомов $N$

б) Расстояние $l$ между центрами соседних атомов

Решение:

а) Чтобы определить число атомов $N$ в заданном объеме железа, воспользуемся следующей логикой:

1. Находим массу железа $m$ через его плотность $\rho$ и объем $V$: $m = \rho \cdot V$.

2. Находим количество вещества $\nu$ (число молей), разделив массу $m$ на молярную массу $M$: $\nu = \frac{m}{M}$.

3. Находим общее число атомов $N$, умножив количество вещества $\nu$ на число Авогадро $N_A$: $N = \nu \cdot N_A$.

Объединим эти шаги в одну формулу:

$N = \frac{m}{M} \cdot N_A = \frac{\rho \cdot V}{M} \cdot N_A$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$N = \frac{7800 \text{ кг/м}^3 \cdot 1,0 \times 10^{-6} \text{ м}^3}{0,056 \text{ кг/моль}} \cdot 6,02 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1}$

Проведем вычисления:

$N = \frac{7800 \cdot 6,02}{0,056} \times 10^{-6+23} = \frac{46956}{0,056} \times 10^{17} \approx 838500 \times 10^{17} \approx 8,385 \times 10^{22}$

Округлим результат до двух значащих цифр, так как объем дан с такой же точностью:

$N \approx 8,4 \times 10^{22}$

Ответ: число атомов в железе объемом 1,0 см³ составляет примерно $8,4 \times 10^{22}$.

б) Для оценки расстояния $l$ между центрами соседних атомов сделаем допущение, что каждый атом занимает пространство в форме куба. В такой модели весь объем железа $V$ состоит из $N$ таких кубических ячеек.

Объем $V_0$, приходящийся на один атом, можно найти по формуле:

$V_0 = \frac{V}{N}$

Сторона этого куба $l$ и будет являться искомым средним расстоянием между центрами атомов. Объем куба равен $V_0 = l^3$. Отсюда:

$l = \sqrt[3]{V_0} = \sqrt[3]{\frac{V}{N}}$

Подставим значения $V$ и $N$ (для большей точности расчетов используем неокругленное значение $N \approx 8,385 \times 10^{22}$):

$l = \sqrt[3]{\frac{1,0 \times 10^{-6} \text{ м}^3}{8,385 \times 10^{22}}} \approx \sqrt[3]{0,11926 \times 10^{-28} \text{ м}^3}$

Для удобства извлечения корня представим число в другом виде:

$l \approx \sqrt[3]{11,926 \times 10^{-30} \text{ м}^3} \approx 2,28 \times 10^{-10} \text{ м}$

Округлим результат до двух значащих цифр:

$l \approx 2,3 \times 10^{-10} \text{ м}$

Ответ: расстояние между центрами соседних атомов железа составляет примерно $2,3 \times 10^{-10} \text{ м}$.