Номер 597, страница 114 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Идеальный газ в закрытом сосуде.

$V = \text{const}$ (объем постоянный)

$N = \text{const}$ (количество вещества постоянное)

Увеличение средней квадратичной скорости, $k = 20,0 \% = 0,20$

Найти:

$\frac{p_2}{p_1}$ — ?

Решение:

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории для давления идеального газа связывает давление с микроскопическими параметрами газа:

$p = \frac{1}{3} n m_0 \overline{v^2}$

где $p$ — давление газа, $n$ — концентрация молекул, $m_0$ — масса одной молекулы, а $\overline{v^2}$ — средний квадрат скорости молекул.

Средняя квадратичная скорость $v_{ск}$ связана со средним квадратом скорости соотношением $v_{ск} = \sqrt{\overline{v^2}}$, из которого следует, что $\overline{v^2} = v_{ск}^2$.

Подставив это в основное уравнение, получим зависимость давления от средней квадратичной скорости:

$p = \frac{1}{3} n m_0 v_{ск}^2$

Запишем это уравнение для начального состояния газа (с индексом 1) и конечного состояния (с индексом 2):

$p_1 = \frac{1}{3} n_1 m_0 v_{ск1}^2$

$p_2 = \frac{1}{3} n_2 m_0 v_{ск2}^2$

Так как газ находится в закрытом сосуде, его объем $V$ и количество молекул $N$ не изменяются. Это означает, что концентрация молекул $n = \frac{N}{V}$ также остается постоянной ($n_1 = n_2 = n$). Масса одной молекулы $m_0$ также является константой.

Чтобы найти, во сколько раз изменится давление, составим отношение конечного давления $p_2$ к начальному $p_1$:

$\frac{p_2}{p_1} = \frac{\frac{1}{3} n m_0 v_{ск2}^2}{\frac{1}{3} n m_0 v_{ск1}^2} = \frac{v_{ск2}^2}{v_{ск1}^2} = \left(\frac{v_{ск2}}{v_{ск1}}\right)^2$

Из условия задачи известно, что средняя квадратичная скорость молекул увеличилась на $k = 20,0\%$. Это можно записать следующим образом:

$v_{ск2} = v_{ск1} + \frac{k}{100\%} \cdot v_{ск1} = v_{ск1} \cdot (1 + \frac{k}{100\%})$

$v_{ск2} = v_{ск1} \cdot (1 + 0,20) = 1,20 \cdot v_{ск1}$

Отсюда находим отношение скоростей:

$\frac{v_{ск2}}{v_{ск1}} = 1,20$

Теперь подставим это значение в формулу для отношения давлений:

$\frac{p_2}{p_1} = (1,20)^2 = 1,44$

Следовательно, давление газа увеличится в 1,44 раза.

Ответ: давление газа изменится в 1,44 раза.