Номер 600, страница 114 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Масса пылинки $m_п = 1,74 \cdot 10^{-12}$ кг

Найти:

$k$ - отношение среднеквадратичной скорости молекулы воздуха к среднеквадратичной скорости пылинки ($k = \frac{v_{в}}{v_{п}}$).

Решение:

Согласно условию, пылинка взвешена в воздухе. Это означает, что она находится в тепловом равновесии с молекулами воздуха и участвует в хаотическом тепловом движении (броуновское движение). В состоянии теплового равновесия средние кинетические энергии поступательного движения пылинки и молекул воздуха одинаковы. Это следует из основного положения молекулярно-кинетической теории.

Средняя кинетическая энергия частицы связана с ее массой $m_0$ и среднеквадратичной скоростью $v_{кв}$ формулой:

$\langle E_к \rangle = \frac{1}{2}m_0 v_{кв}^2$

Пусть $m_п$ и $v_п$ — масса и среднеквадратичная скорость пылинки, а $m_в$ и $v_в$ — средняя масса и среднеквадратичная скорость молекулы воздуха. Тогда условие равенства средних кинетических энергий можно записать так:

$\langle E_{к,п} \rangle = \langle E_{к,в} \rangle$

$\frac{1}{2}m_п v_п^2 = \frac{1}{2}m_в v_в^2$

Упростив это выражение, получим:

$m_п v_п^2 = m_в v_в^2$

Задача требует найти, во сколько раз среднеквадратичная скорость пылинки меньше среднеквадратичной скорости молекулы воздуха. Это отношение $k = \frac{v_в}{v_п}$. Выразим его из полученного равенства:

$\frac{v_в^2}{v_п^2} = \frac{m_п}{m_в} \implies k^2 = \frac{m_п}{m_в} \implies k = \sqrt{\frac{m_п}{m_в}}$

Масса пылинки $m_п$ дана в условии: $m_п = 1,74 \cdot 10^{-12}$ кг.

Массу одной молекулы воздуха $m_в$ найдем, используя среднюю молярную массу воздуха ($M \approx 0,029$ кг/моль) и число Авогадро ($N_A \approx 6,022 \cdot 10^{23}$ моль$^{-1}$):

$m_в = \frac{M}{N_A} = \frac{0,029 \text{ кг/моль}}{6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}} \approx 4,816 \cdot 10^{-26}$ кг.

Подставим значения масс в формулу для $k$:

$k = \sqrt{\frac{1,74 \cdot 10^{-12} \text{ кг}}{4,816 \cdot 10^{-26} \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{1,74}{4,816} \cdot 10^{-12 - (-26)}} = \sqrt{0,3613 \cdot 10^{14}}$

Для удобства вычислений представим число под корнем в виде $36,13 \cdot 10^{12}$:

$k = \sqrt{36,13 \cdot 10^{12}} = \sqrt{36,13} \cdot \sqrt{10^{12}} \approx 6,01 \cdot 10^6$.

Ответ:

Среднеквадратичная скорость пылинки меньше среднеквадратичной скорости движения молекул воздуха примерно в $6,01 \cdot 10^6$ раз.