Номер 601, страница 114 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Средняя квадратичная скорость молекул в первом сосуде: $\langle v_{кв1} \rangle = 400 \frac{м}{с}$

Средняя квадратичная скорость молекул во втором сосуде: $\langle v_{кв2} \rangle = 500 \frac{м}{с}$

Число молекул в сосудах одинаково: $N_1 = N_2 = N$

Найти:

Среднюю квадратичную скорость молекул после соединения сосудов $\langle v_{кв} \rangle$.

Решение:

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа связана со средней квадратичной скоростью и абсолютной температурой $T$ соотношением:

$\langle E_k \rangle = \frac{m_0 \langle v^2 \rangle}{2} = \frac{3}{2} k T$

где $m_0$ — масса одной молекулы, $\langle v^2 \rangle$ — средний квадрат скорости, $k$ — постоянная Больцмана.

Средняя квадратичная скорость $\langle v_{кв} \rangle = \sqrt{\langle v^2 \rangle}$, следовательно, $\langle v_{кв} \rangle^2 = \langle v^2 \rangle$.

Тогда температуру газа можно выразить через среднюю квадратичную скорость:

$T = \frac{m_0 \langle v_{кв} \rangle^2}{3k}$

Внутренняя энергия $U$ идеального газа пропорциональна его температуре и числу молекул $N$: $U = N \frac{i}{2} k T$, где $i$ — число степеней свободы молекулы ( для азота, двухатомного газа, $i=5$).

До открытия крана внутренняя энергия газов в первом и втором сосудах равна:

$U_1 = N \frac{i}{2} k T_1$

$U_2 = N \frac{i}{2} k T_2$

Суммарная внутренняя энергия системы до открытия крана:

$U_{общ} = U_1 + U_2 = N \frac{i}{2} k (T_1 + T_2)$

После открытия крана газы смешиваются. Систему можно считать изолированной, поэтому ее полная внутренняя энергия сохраняется. В установившемся состоянии газ займет объем обоих сосудов, общее число молекул будет $2N$, и установится некоторая равновесная температура $T_{кон}$.

Конечная внутренняя энергия системы:

$U_{кон} = (2N) \frac{i}{2} k T_{кон}$

По закону сохранения энергии $U_{общ} = U_{кон}$:

$N \frac{i}{2} k (T_1 + T_2) = (2N) \frac{i}{2} k T_{кон}$

Сократив общие множители, получаем:

$T_1 + T_2 = 2T_{кон} \implies T_{кон} = \frac{T_1 + T_2}{2}$

Теперь подставим в это равенство выражения для температур через средние квадратичные скорости:

$\frac{m_0 \langle v_{кв} \rangle^2}{3k} = \frac{1}{2} \left( \frac{m_0 \langle v_{кв1} \rangle^2}{3k} + \frac{m_0 \langle v_{кв2} \rangle^2}{3k} \right)$

Сократив общий множитель $\frac{m_0}{3k}$, получим выражение для квадрата искомой скорости:

$\langle v_{кв} \rangle^2 = \frac{\langle v_{кв1} \rangle^2 + \langle v_{кв2} \rangle^2}{2}$

Отсюда находим искомую среднюю квадратичную скорость:

$\langle v_{кв} \rangle = \sqrt{\frac{\langle v_{кв1} \rangle^2 + \langle v_{кв2} \rangle^2}{2}}$

Подставим числовые значения:

$\langle v_{кв} \rangle = \sqrt{\frac{(400 \frac{м}{с})^2 + (500 \frac{м}{с})^2}{2}} = \sqrt{\frac{160000 + 250000}{2}} \frac{м}{с} = \sqrt{\frac{410000}{2}} \frac{м}{с} = \sqrt{205000} \frac{м}{с} \approx 452.8 \frac{м}{с}$

Округляя до целых, получаем 453 м/с.

Ответ: $\langle v_{кв} \rangle \approx 453 \frac{м}{с}$.