Номер 608, страница 115 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$ΔT_1 = 15,0$ К

$\langle v_{1кв} \rangle = 400$ м/с

$\langle v_{2кв} \rangle = 500$ м/с

$\langle v_{3кв} \rangle = 500$ м/с

$\langle v_{4кв} \rangle = 600$ м/с

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$ΔT_2$

Решение:

Средняя квадратичная скорость молекул идеального газа $\langle v_{кв} \rangle$ связана с его абсолютной температурой $T$ соотношением:

$\langle E_k \rangle = \frac{m_0 \langle v_{кв} \rangle^2}{2} = \frac{3}{2}kT$

где $m_0$ — масса одной молекулы, $k$ — постоянная Больцмана. Из этой формулы следует, что квадрат средней квадратичной скорости прямо пропорционален абсолютной температуре:

$\langle v_{кв} \rangle^2 = \frac{3kT}{m_0}$

Так как величины $k$ и $m_0$ для данного газа постоянны, можно записать $T = C \cdot \langle v_{кв} \rangle^2$, где $C$ — некоторая константа пропорциональности.

Для первого случая изменение температуры $ΔT_1$ равно разности конечной ($T_2$) и начальной ($T_1$) температур:

$ΔT_1 = T_2 - T_1 = C \cdot \langle v_{2кв} \rangle^2 - C \cdot \langle v_{1кв} \rangle^2 = C (\langle v_{2кв} \rangle^2 - \langle v_{1кв} \rangle^2)$

Для второго случая изменение температуры $ΔT_2$ равно разности конечной ($T_4$) и начальной ($T_3$) температур:

$ΔT_2 = T_4 - T_3 = C \cdot \langle v_{4кв} \rangle^2 - C \cdot \langle v_{3кв} \rangle^2 = C (\langle v_{4кв} \rangle^2 - \langle v_{3кв} \rangle^2)$

Чтобы найти $ΔT_2$, составим отношение двух полученных выражений. Это позволит исключить неизвестную константу $C$:

$\frac{ΔT_2}{ΔT_1} = \frac{C (\langle v_{4кв} \rangle^2 - \langle v_{3кв} \rangle^2)}{C (\langle v_{2кв} \rangle^2 - \langle v_{1кв} \rangle^2)} = \frac{\langle v_{4кв} \rangle^2 - \langle v_{3кв} \rangle^2}{\langle v_{2кв} \rangle^2 - \langle v_{1кв} \rangle^2}$

Выразим искомую величину $ΔT_2$:

$ΔT_2 = ΔT_1 \cdot \frac{\langle v_{4кв} \rangle^2 - \langle v_{3кв} \rangle^2}{\langle v_{2кв} \rangle^2 - \langle v_{1кв} \rangle^2}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$ΔT_2 = 15,0 \cdot \frac{600^2 - 500^2}{500^2 - 400^2} = 15,0 \cdot \frac{360000 - 250000}{250000 - 160000} = 15,0 \cdot \frac{110000}{90000} = 15,0 \cdot \frac{11}{9}$

Произведем вычисления:

$ΔT_2 = \frac{165}{9} = \frac{55}{3} \approx 18,333...$ К

С учетом точности исходных данных (три значащие цифры), округляем результат:

$ΔT_2 \approx 18,3$ К

Ответ: $18,3$ К.