Номер 614, страница 116 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$l_0 = 8,0 \text{ см}$

$\Delta l = 4,4 \text{ см}$

$p_a$ - нормальное атмосферное давление

$l_0 = 0,08 \text{ м}$

$\Delta l = 0,044 \text{ м}$

Нормальное атмосферное давление $p_a$ эквивалентно давлению столба ртути высотой $h_a = 760 \text{ мм} = 76 \text{ см} = 0,76 \text{ м}$.

Найти:

$l_1$

Решение:

Поскольку трубку погружают медленно, процесс сжатия воздуха в ней можно считать изотермическим. Для изотермического процесса справедлив закон Бойля-Мариотта: произведение давления газа на его объём остаётся постоянным ($pV = \text{const}$).

Запишем закон для начального и конечного состояний воздуха в трубке:

$p_0 V_0 = p_1 V_1$

где $p_0$ и $V_0$ — давление и объём воздуха в начальном состоянии, а $p_1$ и $V_1$ — в конечном.

В начальном состоянии (когда трубку только закрыли) давление воздуха внутри равно атмосферному давлению $p_a$. Объём воздуха $V_0 = S \cdot l_0$, где $S$ — площадь поперечного сечения трубки.

$p_0 = p_a$

В конечном состоянии, после погружения трубки, длина столба воздуха стала $l_1$, а его объём $V_1 = S \cdot l_1$. Давление воздуха $p_1$ теперь уравновешивается внешним атмосферным давлением $p_a$ и гидростатическим давлением столба ртути $h$, на который уровень ртути в трубке опустился ниже уровня ртути в сосуде.

$p_1 = p_a + \rho g h$

где $\rho$ — плотность ртути, $g$ — ускорение свободного падения.

Высоту $h$ можно выразить через известные величины. Изначально верхний конец трубки был на высоте $l_0$ над уровнем ртути. После погружения на $\Delta l$ он оказался на высоте $l_0 - \Delta l$. Длина столба воздуха $l_1$ — это расстояние от верхнего конца трубки до уровня ртути внутри нее. Таким образом, длина воздушного столба равна сумме высоты верхнего конца трубки над внешним уровнем ртути и глубины $h$, на которую опустился уровень ртути внутри трубки:

$l_1 = (l_0 - \Delta l) + h$

Отсюда $h = l_1 - l_0 + \Delta l$.

Подставим это выражение для $h$ в формулу для давления $p_1$:

$p_1 = p_a + \rho g (l_1 - l_0 + \Delta l)$

Теперь подставим все выражения в закон Бойля-Мариотта:

$p_a (S l_0) = (p_a + \rho g (l_1 - l_0 + \Delta l))(S l_1)$

Сократим площадь $S$:

$p_a l_0 = (p_a + \rho g (l_1 - l_0 + \Delta l)) l_1$

Для удобства вычислений выразим атмосферное давление через высоту столба ртути $h_a = 76$ см, который оно уравновешивает: $p_a = \rho g h_a$.

$\rho g h_a l_0 = (\rho g h_a + \rho g (l_1 - l_0 + \Delta l)) l_1$

Сократим обе части уравнения на $\rho g$:

$h_a l_0 = (h_a + l_1 - l_0 + \Delta l) l_1$

Раскроем скобки и получим квадратное уравнение относительно $l_1$:

$h_a l_0 = h_a l_1 + l_1^2 - l_0 l_1 + \Delta l l_1$

$l_1^2 + (h_a - l_0 + \Delta l)l_1 - h_a l_0 = 0$

Подставим числовые значения в сантиметрах: $h_a = 76$ см, $l_0 = 8,0$ см, $\Delta l = 4,4$ см.

$l_1^2 + (76 - 8,0 + 4,4)l_1 - 76 \cdot 8,0 = 0$

$l_1^2 + 72,4 l_1 - 608 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (72,4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-608) = 5241,76 + 2432 = 7673,76$

$\sqrt{D} = \sqrt{7673,76} = 87,6$

Найдем корни уравнения:

$l_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-72,4 \pm 87,6}{2}$

Так как длина столба воздуха $l_1$ не может быть отрицательной, выбираем корень со знаком «плюс»:

$l_1 = \frac{-72,4 + 87,6}{2} = \frac{15,2}{2} = 7,6 \text{ см}$

Ответ: $l_1 = 7,6 \text{ см}$.